¿Cómo se hace una prueba por contradicción?

Answer 1

Cualquier prueba por contradicción sigue este esquema general. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.

1. Asumir, en aras de la discusión, la negación de lo que está tratando de demostrar.

Suponga que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional.

2. Derive una contradicción de su suposición .

Escriba como una fracción, reducida a los términos más bajos: [matemáticas] \ sqrt {2} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas]

Si [math] \ sqrt {2} = \ frac {a} {b} [/ math] entonces [math] 2b ^ 2 = a ^ 2 [/ math] entonces [math] a ^ 2 [/ math] es par . Por lo tanto, [matemáticas] a [/ matemáticas] en sí es par. Entonces existe un número [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] a = 2k [/ matemática]. Conectando a nuestra fracción original, tenemos [matemática] 2b ^ 2 = (2k) ^ 2 \ implica 2b ^ 2 = 4k ^ 2 \ implica b ^ 2 = 2k ^ 2 [/ matemática]. Entonces [math] b ^ 2 [/ math] es par y, por lo tanto, [math] b [/ math] también lo es.

Pero si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​ambos pares, entonces [math] \ frac {a} {b} [/ math] no está en los términos más bajos. Esto contradice lo que asumimos al comienzo de esta sección .

3. Dado que el supuesto en (1) conduce a una imposibilidad lógica, podemos concluir que la negación del supuesto (es decir, la proposición original) es verdadera.

Por lo tanto, [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.

Answer 2

La forma en que me gusta explicárselo a mis estudiantes no matemáticos es esta. Las pruebas matemáticas se construyen a partir de afirmaciones verdaderas que están unidas mediante una progresión de implicación lógica. Comience con una declaración verdadera y, a través de la deducción lógica y las conexiones con otras declaraciones verdaderas, llegue a la declaración que desea mostrar que era (matemáticamente) verdadera; Como todas las declaraciones en su cadena de inicio de sesión eran verdaderas, la última declaración debe ser verdadera.

En matemáticas, operamos en un reino donde una declaración es verdadera o no verdadera. (Esto se llama la Ley del Medio Excluido). Es importante tener esto en cuenta.

En una prueba por contradicción, tomamos una afirmación de que queremos mostrar que es verdadera y decimos: “Supongamos lo contrario; supongamos que no es verdad”. Luego establecemos una cadena de lógica y declaraciones verdaderas con esto como nuestra declaración “verdadera” inicial. Por ejemplo, en la respuesta de Charles Krohn a su pregunta, la afirmación que se probará fue “sqrt (2) no es racional”. Su negación es “sqrt (2) es racional”.

Con la negación de nuestra declaración como punto de partida, comenzamos a hacer deducciones lógicas de ella hasta llegar a una contradicción con algo que es claramente cierto. Por ejemplo, la contradicción en la respuesta de Krohn fue que a / b estaba en los términos más bajos (el numerador y el denominador no tenían factores comunes). Una declaración falsa en su cadena de razonamiento lógico significa que se cometió un error en la lógica de su argumento o que alguna declaración en la cadena fue falsa. El único punto de debilidad en su argumento debería ser su declaración principal, que era la negación de la declaración que le interesa probar.

Usted concluye que esta declaración inicial debe ser la fuente del problema; Debe ser falso. Por lo tanto, su opuesto debe ser cierto. Su opuesto es la afirmación que está tratando de demostrar que es verdad. Y acabas de hacerlo.

NOTA: El uso de esta técnica para demostrar la verdad de un enunciado matemático le dice que es cierto, pero no le dice por qué es cierto. Por esta razón, los matemáticos consideran esto como una técnica de prueba débil.

Answer 3

Una forma de pensarlo es solo un caso especial de implicación. Para mostrar que A implica B, puede asumir temporalmente A y luego derivar B de esta suposición.

Además, uno puede identificar “NO A” con “A implica CONTRADICCIÓN”. Entonces, para mostrar “NO A”, asume temporalmente A y deriva una contradicción de esta suposición.

Además, cualquier proposición arbitraria puede identificarse con su doble negación. Entonces, para mostrar X, se puede mostrar NO NOT X. Lo que, por lo anterior, equivale a asumir temporalmente NO X y derivar una contradicción de esta suposición.

Cualquiera de los tipos de cosas anteriores es lo que generalmente se entiende por prueba por contradicción; usted demuestra que algo implica una contradicción, concluye a partir de esto la negación de la suposición y luego, opcionalmente, aplica la eliminación de doble negación según sea necesario.