- las pruebas de los resultados básicos (de los libros de texto), así como los resultados avanzados importantes que se usan ampliamente y se incluyen en las monografías de investigación, son casi todos correctos;
- Hay un número no despreciable de errores matemáticos graves en artículos publicados menos leídos / utilizados.
Detalles:
Las pruebas de resultados importantes que uno encuentra en los libros de texto estándar (por ejemplo, cualquier cosa que se llame un teorema en Dummit and Foote’s Abstract Algebra , o Rudin Real and Complex Analysis o Hartshorne’s Algebraic Geometry ) son correctas con una probabilidad extremadamente alta porque se verifican explícitamente, en detalle, por cientos de instructores y estudiantes cada año, ya que esos resultados se enseñan en cursos. Si hubiera errores en el razonamiento, muy probablemente se detectarían en esta comprobación explícita. Dado que los libros de texto pasan por varias ediciones, incluso la mayoría de los errores tipográficos se eliminan.
Las monografías más avanzadas tienden a ser más telegráficas y son utilizadas por menos personas, por lo que es más común encontrar pruebas que sean onduladas a mano y tal vez incompletas. Aún así, los resultados son generalmente correctos (excepto quizás por pequeños ajustes técnicos) porque han sido examinados, creídos y desarrollados por múltiples académicos. Si hubiera algo mal, muchas otras cosas cercanas en el espacio matemático probablemente saldrían mal y se notaría el error.
Los resultados que se convierten en libros de texto y monografías de investigación son lo que yo llamaría el canon. Mi sensación es que este canon es bastante robusto y muy bajo en errores graves.
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Sin embargo, cuando se trata de artículos publicados normales, especialmente fuera de las principales revistas, creo que la fracción de errores graves no es insignificante. Antes de su publicación, los documentos pasan por algunos árbitros, a veces solo uno. Esos árbitros rara vez tienen tiempo para verificar cada paso de cada prueba. La mayoría de los artículos también tienen muy pocas citas, lo que sugiere que no se leen ampliamente. Por lo tanto, es muy probable que un autor cometa un error no trivial y que una prueba importante (o incluso el resultado) esté mal, pero nadie se da cuenta. Una vez escuché que la estimación arrojada alrededor de que un tercio de todos los trabajos de matemáticas publicados contienen un grave error. Mi presentimiento es que esta es una estimación demasiado alta, pero el 10 por ciento probablemente estaría en el lado bajo.
Los errores en las pruebas publicadas no se limitan a problemas oscuros. Como se discutió en este documento [http://arxiv.org/abs/math.PR/070…, página 2 abajo], una prueba reclamada (por Girko) de un resultado muy importante en la teoría de matrices aleatorias (la Ley Circular) fallas serias que tomaron el orden de diez años para corregir.