Porque las pruebas importantes requieren una imaginación salvaje.
El trabajo más importante en matemáticas se realiza inventando una hermosa estructura, de la cual el teorema se descarta como un aparente efecto secundario. El instinto del matemático es hacia la elegancia, la percepción subjetiva de la belleza. El teorema en sí mismo hace poco para señalar el camino. La estructura, una vez descubierta, generalmente arroja cientos de teoremas más importantes y plantea conjeturas más importantes.
El trabajo en matemática no es la ruptura procesal de los teoremas; Es una exploración de un paisaje estructural e intrincado. De vez en cuando, un explorador aterriza en una costa distante y la atención se desplaza a un nuevo continente.
Por ejemplo, Evariste Galois abordó el problema de resolver polinomios por encima del grado 4. Creó, aparentemente de la nada, una elegante torre de ruedas girando dentro de las ruedas. Para polinomios de grado 5, no se puede hacer que las ruedas encajen entre sí y el motor se rompe.
- ¿Cómo se demuestra que [matemáticas] 10 ^ {2n-1} +1 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 11 [/ matemáticas] mediante inducción?
- ¿Por qué es [matemáticas] \ frac {\ pi} {4} = \ frac {1} {1} – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ cdots = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ i \ cdot \ frac {1} {2i + 1} [/ math]?
- ¿Cuáles son algunas pruebas en matemáticas que prueban que ciertas tareas son imposibles?
- ¿Qué metodología se debe adoptar para codificar un programa C libre de errores?
- ¿Tenía Fermat una prueba de su último teorema, o solo estaba mintiendo?
Olvídese de resolver polinomios, el descubrimiento de Galois (teoría de grupos) fue una visión profunda de la simetría. Ahora está en todas partes en matemáticas y física, desde la cristalografía hasta la ruptura de códigos.
Para otro ejemplo, Godel consideró si alguna vez podemos estar seguros de tener suficientes axiomas para hacer la teoría de números. Su construcción fue tan salvaje que habría sido considerada una locura, si no hubiera funcionado. Gódel volvió las matemáticas para verse a sí mismo, se volvió “consciente de sí mismo” (para volverse poético). Esta “introspección” creó un punto ciego, una singularidad que el motor no podía ver.
La estructura se derrumbó.
El trabajo de Godel a menudo se cita como el teorema más bello e importante de las matemáticas, y abre a la puerta resultados más sorprendentes como el Axioma de Elección y la tesis de Church-Turing.
Los teoremas que vemos escritos por estos investigadores son como los registros de exploradores náuticos del barco; son las más simples anotaciones de las visiones más profundas que la mente humana ha vislumbrado.
(Betrand Russell bromeó, de un estudiante que abandonó las matemáticas por poesía, “Eso es bueno. Las matemáticas requieren demasiada imaginación para este tipo”. [Parafraseo, se necesita referencia])
(Los matemáticos, sin duda, objetarán mis simplificaciones aquí. Siento que descripciones como estas a veces tienen un propósito, y espero que esta respuesta sirva como una invitación a estos temas y no como un objetivo para, um, selección de liendres)