Un número infinito de esferas se “rellenan” en el cuerno de Gabriel arriba [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el volumen total de las esferas dentro de la bocina?

Answer 1

Como Meni Rosenfeld mencionó, la solución requiere el uso de software numérico para calcular la respuesta directamente. Ampliaré su respuesta aquí sobre cómo se pueden encontrar los polinomios más fácilmente.

Como él implica, es suficiente encontrar la ecuación del círculo inscrito bajo la función [matemáticas] 1 / x [/ matemáticas]. Para hacer esto, desplazaré la bocina hacia la izquierda una unidad a lo largo del eje [math] x – [/ math]. Esto cambia la ecuación de la bocina a [matemáticas] g (x) = \ frac {1} {1 + x}. [/matemáticas]

La ecuación para los círculos que queremos encontrar tiene radios y puntos de tangencia:

[matemática] r_k, x_k, \ forall k \ ge 1 [/ matemática] definida por las funciones

[matemáticas] f_k (x) = \ sqrt {r_k ^ 2 – [x – (2r_1 + 2r_2 + \ ldots + 2r_ {k-1} + r_k)] ^ 2} [/ matemáticas]

y los requisitos

[matemáticas] g (x_k) = f_k (x_k), \ g ‘(x_k) = f’_k (x_k). [/matemáticas]
El primer ser

[matemáticas] \ frac {1} {x_1 + 1} = \ sqrt {r_1 ^ 2 – (x_1 – r_1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {(x_1 + 1) ^ 2} = \ frac {x_1 – r_1} {\ sqrt {r_1 ^ 2 – (x_1 – r_1) ^ 2}} [/ matemáticas]

Al conectar la primera ecuación a la segunda para eliminar la raíz cuadrada, y aislar para [matemáticas] r_1 [/ matemáticas] obtengo

[matemáticas] r_1 = x_1 – \ frac {1} {(x_1 + 1) ^ 3}. [/matemáticas]

Conectando esto de nuevo a la primera ecuación (después de un montón de álgebra) obtengo

[matemáticas] x_1 ^ 2 (x_1 + 1) ^ 3 – 3x_1 – 1 = 0 [/ matemáticas]

que en este punto requiere un software numérico para una solución al polinomio quíntico. Computational Knowledge Engine dice que se trata

[matemáticas] x_1 \ aprox. 0.771992. [/matemáticas]

Esto implica [matemáticas] r_1 \ aproximadamente 0.599226. [/matemáticas]

Trama útil

Eso debería ser un buen comienzo. ¡Buena suerte!

Answer 2

La primera bola se centra en [matemática] (1 + r_0,0,0) [/ matemática] y tiene radio [matemática] r_0 [/ matemática], donde se elige [matemática] r_0 [/ matemática] para que el círculo [ matemática] (x-r_0-1) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 [/ matemática] es tangente a [matemática] y = 1 / x [/ matemática].

Esto lleva a las 3 ecuaciones [matemáticas] y_0 = 1 / x_0 [/ matemáticas] (el punto de tangencia debe estar en la bocina), [matemáticas] (x_0-r_0-1) ^ 2 + y_0 ^ 2 = r_0 ^ 2 [/ math] (el punto debe estar en el círculo) y [math] \ frac {y_0} {x_0-r_0-1} = x_0 ^ 2 [/ math] (el radio debe ser perpendicular a la bocina, por lo tanto, su pendiente debe ser negativamente igual al recíproco de la derivada).

Esto se reduce a resolver la ecuación quintica [matemáticas] 8r ^ 5 + 39r ^ 4 + 42r ^ 3 + 15r ^ 2-4r-17 = 0 [/ matemáticas]. Podemos resolver numéricamente para encontrar [math] r_0 = 0.59226487 … [/ math].

Del mismo modo, la segunda bola está centrada en [matemáticas] (1 + 2r_0 + r_1,0,0) [/ matemáticas] y tiene radio [matemáticas] r_1 [/ matemáticas], donde se elige [matemáticas] r_1 [/ matemáticas] para que el círculo [matemático] (x-2r_0-r_1-1) ^ 2 + y ^ 2 = r_1 ^ 2 [/ matemático] es tangente a [matemático] y = 1 / x [/ matemático]. Obtenemos [matemáticas] r_1 = 0.38497346 … [/ matemáticas].

Podemos continuar encontrando numéricamente cada radio en sucesión. El volumen es entonces

[matemáticas] V = \ frac {4 \ pi} {3} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} r_n ^ 3 \ aprox 1.7814824719448. [/ matemáticas]

El siguiente comando de Mathematica produce los radios:

NextRadius [a_]: =
r /. FindRoot [-4 (12 + (a ^ 2 + 2 ar) ^ 2) ^ 3 +
4 (54 (a + r) ^ 2 – 36 a (a + 2 r) + (a ^ 2 + 2 ar) ^ 3) ^ 2 == 0, {r,
1 / a}, WorkingPrecision -> 50];
x = 1; X = Tabla [r = SiguienteRadio [x]; x = x + 2 r; r, {i, 1000}];

Answer 3

EDITAR: La pregunta utilizada para especificar “Un número infinito de esferas cada vez más pequeñas se” rellenan “en el cuerno de Gabriel arriba [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el volumen total de las esferas dentro de la bocina? ”Aquí estoy respondiendo esa pregunta, que puede o no ser la actual.

El volumen del cuerno de Gabriel (también conocido como trompeta de Torricelli) simplemente puede calcularse como:

[matemáticas] V = \ pi \ lim_ {a \ rightarrow \ infty} \ int_1 ^ a \ left (\ frac1x \ right) ^ 2dx = \ lim_ {a \ rightarrow \ infty} \ pi \ left (1- \ frac1a \ derecha) = \ pi [/ math].

Sin embargo, las esferas están obligadas a dejar algunos espacios vacíos entre ellas. La forma más eficiente de empacarlos es usando FCC o HCP, que permiten una fracción de volumen ocupado dada por

[matemáticas] \ frac \ pi {3 \ sqrt2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el volumen es

[matemáticas] \ frac {\ pi ^ 2} {3 \ sqrt2} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que esta es la respuesta correcta para esferas cada vez más pequeñas. Si las esferas tienen un tamaño finito, obtendremos algo ligeramente diferente debido a los efectos de límite.

Esto también supone que las esferas son todas del mismo tamaño. Si las esferas aún son muy pequeñas, pero pueden tener diferentes tamaños, primero podemos llenar la trompeta con un primer lote de esferas de tamaño idéntico y muy pequeñas. Luego llene el espacio restante con un segundo lote de esferas, nuevamente de tamaño idéntico, pero muy pequeño incluso con respecto al primer lote. Si seguimos agregando más y más lotes de esferas cada vez más pequeñas, podemos acercarnos tanto como queramos ocupando todo el espacio. Entonces el límite del volumen sería

[matemáticas] \ pi [/ matemáticas]

Las matemáticas son raras.