Si un segmento de línea gira alrededor de uno de sus puntos, no el centro o un punto final, ¿tendrán los arcos en cada extremo el mismo número de puntos?

Answer 1

“Para cada punto en un arco hay un punto correspondiente en el otro arco”

Lo que has descubierto aquí es algo llamado “biyección”, y es fundamental para nuestra comprensión del número y el conteo.

Respuesta corta: sí, los dos arcos tienen el mismo número de puntos; La existencia de una biyección es lo que hace que esto sea así.

Galileo aplicó por primera vez esta idea a conjuntos infinitos, señalando que había tantos cuadrados perfectos como enteros. Lo demostró mediante una simple biyección.

Puede sorprenderle saber que hay tantos puntos en un área 2D como en un segmento de línea. La biyección en este caso es más difícil de construir.

Curiosamente, no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cuenta. Por ejemplo, hay más puntos en un segmento de línea que números naturales. Hay pruebas inteligentes de que no existe biyección entre estos conjuntos.

Answer 2

Los detalles de la construcción son irrelevantes. Se dice que el conjunto de puntos que forman un pequeño rango en la recta numérica tiene la misma cardinalidad que el conjunto de puntos que forman la recta numérica completa. Un arco pequeño, un arco grande, incluso un arco infinitamente largo tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo número de puntos.

Esto se debe a que hay asignaciones que son uno a uno y entre los diversos conjuntos, asignando cada punto de un conjunto a un punto único en el otro, y viceversa. Entonces los conjuntos deben tener la misma cardinalidad.

Debido a los infinitos, el número de puntos no tiene nada que ver con la longitud.

Answer 3

Ambos tienen un incontable número infinito de puntos, por lo que sí, pueden coincidir en una correspondencia uno a uno.