¿Son dos líneas paralelas coplanarias? En algunos libros descubrí que no son coplanarios, pero quiero una explicación lógica.

Answer 1

Por definición, dos líneas son coplanares si se encuentran en el mismo plano. Queremos mostrar que si dos líneas son paralelas [math] \ rightarrow [/ math] las dos líneas también son coplanares. Suponga que las líneas no son trivialmente paralelas (no son la misma línea).

Tome dos líneas paralelas [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Delta ‘[/ matemáticas]. Tome dos puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B \ in \ Delta [/ matemática] y otra [matemática] C [/ matemática] [matemática] \ in \ Delta ‘[/ matemática]. Esto forma un plano [matemática] P = (A, B, C) [/ matemática]. Si podemos mostrar que todos los puntos en [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] están en [matemáticas] P [/ matemáticas] y cada punto en [matemáticas] \ Delta ‘[/ matemáticas] está en [matemáticas] P [/ matemáticas ] entonces mostramos efectivamente que [math] \ Delta [/ math] y [math] \ Delta ‘[/ math] están en P, haciéndolos coplanares, lo que demuestra nuestra afirmación.

• Tome cualquier punto [math] X \ in \ Delta [/ math]. Trivialmente, porque [matemática] X [/ matemática] está en [matemática] \ Delta = (AB) [/ matemática], entonces [matemática] X \ en P = (A, B, C) [/ matemática].
• Ahora tome cualquier punto [math] Y \ in \ Delta ‘[/ math]. Si es [matemática] \ en P [/ matemática], entonces hemos terminado. Si no está en [matemática] P [/ matemática], entonces debe ser cierto que la línea [matemática] \ Delta ‘[/ matemática] intersecta [matemática] P [/ matemática] en un solo punto, a saber [matemática] C [/ matemáticas]. En cierto sentido, [math] \ Delta ‘[/ math] perfora el plano [math] P [/ math] que contiene [math] \ Delta [/ math], lo que hace imposible que [math] \ Delta [/ math] y [matemática] \ Delta ‘[/ matemática] será paralela. Por lo tanto, debe ser cierto que [matemática] Y [/ matemática] está en [matemática] P [/ matemática], por lo tanto, cualquier punto en [matemática] \ Delta ‘[/ matemática] está realmente en [matemática] P [/ matemática] .

Entonces tenemos: [math] \ Delta [/ math] y [math] \ Delta ‘[/ math] no son trivialmente paralelos, y cualquier punto de cualquiera de estas dos líneas está en el mismo plano, entonces [math] \ Delta [/ math] y [math] \ Delta ‘[/ math] son ​​coplanares.

¡Salud!

Answer 2

En geometría completamente euclidiana, mi intuición dice que ciertamente lo serán. Sin embargo, sé que probar que las líneas paralelas y paralelas es bastante difícil, y mucho menos coplanar.

Pero sí, si son paralelas, deberían tener [math] \ qquad \ vec {u} \ qquad c [/ math] dirección característica, y dos líneas que tengan la misma [math] \ qquad \ vec {u_1} \ qquad = \ qquad \ vec {u_2} \ qquad [/ math], no me puedo imaginar que no sean coplaner sin geometría especial.

Answer 3

Me gusta la respuesta de Ziad Ben Hadj-Alouane, pero me gustaría presentar una que emplee vectores.

Deje la línea [matemática] L_1 = \ {x: x = a + tu \} [/ matemática] y [matemática] L_2 = \ {x: x = b + su \} [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​puntos en el espacio, [matemática] u [/ matemática] es un vector unitario, y [matemática] t [/ matemática] y [matemática] s [/ matemática] son ​​escalares: [matemática] t, s \ in \ {- \ infty, \ infty \} [/ math]. Por construcción [matemática] a [/ matemática] es un punto en [matemática] L_1 [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es un punto en [matemática] L_2 [/ matemática] y [matemática] L_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] son ​​paralelas. Si [math] L_1 [/ math] y [math] L_2 [/ math] son ​​líneas distintas, entonces [math] a \ ne b [/ math] y definimos [math] v [/ math] [math] = ba [/ math] y definimos [math] w = v \ times u [/ math].

Defina el plano [matemática] P = \ {y: (ya) \ cdot w = 0 \} [/ matemática]. A continuación mostramos que [matemáticas] L_1 \ subconjunto P [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 \ subconjunto P [/ matemáticas].

Para [matemática] L_1, [/ matemática] evalúe [matemática] (a + tu -a) \ cdot w = tu \ cdot w = 0 [/ matemática] entonces [matemática] L_1 \ subconjunto P. [/ Matemática]

Para [matemática] L_2, [/ matemática] evalúe [matemática] (b + su -a) \ cdot w = (v + su) \ cdot w = 0 [/ matemática] entonces [matemática] L_2 \ subconjunto P. [/ matemáticas]

[matemática] L_1 [/ matemática] y [matemática] L_2 [/ matemática] ambos viven en el avión [matemática] P [/ matemática], por lo que son coplaner.

Answer 4

Las líneas paralelas son coplanares por definición … si solo definimos líneas paralelas como líneas que no se intersecan, entonces las líneas oblicuas también serían paralelas, pero sabemos que las líneas oblicuas no tienen que tener la misma dirección