¿Cuál es el número entero más pequeño n tal que el triángulo con lados n, n + 1 y n + 2 tiene un área divisible por 20?

Answer 1

Daré una solución analítica, mínimamente computacional.

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La fórmula de Heron para el área [matemática] A [/ matemática] de un triángulo con lados [matemática] a, b, c [/ matemática] es

[matemáticas] A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \ ldots (\ star) [/ matemáticas]

donde [math] s = \ frac {a + b + c} {2} [/ math] es el semiperímetro del triángulo.

Con [matemáticas] a = n-1 [/ matemáticas], [matemáticas] b = n [/ matemáticas], [matemáticas] c = n + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] s = 3n [/ matemáticas] y eqn. [matemáticas] (\ estrella) [/ matemáticas] se reduce a

[matemáticas] (4A) ^ 2 = 3n ^ 2 (n + 2) (n-2) \ ldots (1) [/ matemáticas]

Desde el LHS de la ecuación. [matemática] (1) [/ matemática] es par, [matemática] n [/ matemática] debe ser par . Escribir [matemáticas] n = 2m [/ matemáticas] en la ecuación. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] da

[matemáticas] A ^ 2 = 3m ^ 2 (m + 1) (m-1) \ ldots (2) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] m \ mid A [/ math] y [math] 3 (m + 1) (m-1) = \ big (\ frac {A} {m} \ big) ^ 2 [/ math] es un cuadrado.

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Mi respuesta a ¿Cómo resuelvo [matemática] x ^ 2-8y ^ 2 = 1 [/ matemática] donde, [matemática] x, y \ in \ mathbb {N} [/ matemática] usando la fracción continua de [matemática] \ sqrt {8} [/ matemáticas]? prepara la base para resolver ecuaciones de la forma [matemáticas] x ^ 2-dy ^ 2 = N [/ matemáticas]. Si [math] N = \ pm 1 [/ math], todas las soluciones se dan a través de la unidad fundamental [math] {\ epsilon} _d [/ math]. Si [math] 1 <| N | <\ sqrt {d} [/ math], y [math] x ^ 2-dy ^ 2 = N [/ math] tiene una solución [math] (x_0, y_0) [/ matemática], todas las soluciones se dan en términos de esta solución particular y [matemática] {\ epsilon} _d [/ matemática]. Si [math] N> \ sqrt {d} [/ math], y [math] x ^ 2-dy ^ 2 = N [/ math] tiene una solución [math] (x_0, y_0) [/ math], un se da infinitamente familia de soluciones dada en términos de esta solución particular y [math] {\ epsilon} _d [/ math], pero también puede haber otras familias infinitas.

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Eqn. [matemática] (2) [/ matemática] implica [matemática] A [/ matemática] es par . Si [math] m [/ math] es par , entonces [math] \ frac {A} {m} [/ math] debe ser impar [math] ([/ math] ya que [math] m \ pm 1 [/ math ] son impares [matemáticas]) [/ matemáticas]; si [math] m [/ math] es impar , entonces [math] 4 \ mid \ frac {A} {m} [/ math] [math] ([/ math] desde [math] 8 \ mid (m ^ 2 –1)) [/ matemáticas].

Como [math] \ gcd (m + 1, m-1) [/ math] divide [math] (m + 1) – (m-1) = 2 [/ math], [math] \ gcd (m + 1 , m-1) = 1 [/ matemática] o [matemática] 2 [/ matemática]; y es igual a [matemática] 1 [/ matemática] cuando [matemática] m [/ matemática] es par , y [matemática] 2 [/ matemática] cuando [matemática] m [/ matemática] es impar . El hecho de que [matemática] 3 (m + 1) (m-1) [/ matemática] es un cuadrado conduce a los dos conjuntos de posibilidades

[matemática] m + 1 = 3r ^ 2 [/ matemática], [matemática] m-1 = s ^ 2 [/ matemática] o [matemática] m + 1 = r ^ 2 [/ matemática], [matemática] m- 1 = 3s ^ 2 [/ math] si [math] m [/ math] es par,

[matemática] \ frac {m + 1} {2} = 3r ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ frac {m-1} {2} = s ^ 2 [/ matemática] o [matemática] \ frac { m + 1} {2} = r ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ frac {m-1} {2} = 3s ^ 2 [/ matemática] si [matemática] m [/ matemática] es impar,

donde [math] \ frac {A} {m} [/ math] es igual a [math] 3rs [/ math] en el primer caso y [math] 6rs [/ math] en el segundo caso.

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Caso 1. [matemática] (m [/ matemática] es par [matemática]) [/ matemática] El primer conjunto da [matemática] x ^ 2–3y ^ 2 = \ pm 2 [/ matemática] al eliminar [matemática] m [/ math], y dado que los cuadrados [math] \ bmod {3} [/ math] son ​​[math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ math], solo podemos tener el caso [math] x ^ 2–3y ^ 2 = -2 [/ matemáticas].

La expansión [math] \ sqrt {3} = \ big [1, \ overline {1,2} \ big] [/ math] da [math] {\ epsilon} _3 = 2 + \ sqrt {3} [/ math ]; lea mi respuesta citada arriba. Como [math] (1,1) [/ math] es una solución para [math] x ^ 2–3y ^ 2 = -2 [/ math], tenemos la familia infinita de soluciones [math] (x_N, y_N) [/ math] en enteros positivos dados por

[matemáticas] x_N + y_N \ sqrt {3} = \ big (1+ \ sqrt {3} \ big) \ cdot (2+ \ sqrt {3} \ big) ^ N, N \ in {\ mathbb Z} _ {\ ge 0} \ ldots (3) [/ math]

De [matemáticas] x_ {N + 1} + y_ {N + 1} \ sqrt {3} = \ big (X_N + y_N \ sqrt {3} \ big) \ cdot \ big (2+ \ sqrt {3} \ grande) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] x_ {N + 1} = 2x_N + 3y_N, \ quad y_ {N + 1} = x_N + 2y_N para N \ in {\ mathbb Z} _ {\ ge 0} \ ldots (4) [/ matemáticas]

En este caso, [matemática] s ^ 2–3r ^ 2 = (m-1) – (m + 1) = – 2 [/ matemática], y [matemática] A = 3mrs [/ matemática] es un múltiplo de [ matemáticas] 20 [/ matemáticas].

Como [math] r_1 = 5 [/ math] y [math] s_1 = 3 [/ math] son impares , cada [math] r_N [/ math] es impar y cada [math] s_N [/ math] es impar por la recurrencia [matemáticas] (4) [/ matemáticas]. [matemáticas] ([/ matemáticas] Utilice [matemáticas] x_ {N + 1} \ equiv y_N \ pmod {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] y_ {N + 1} \ equiv x_N \ pmod {2} [/ matemática] e inducción matemática .) Por lo tanto, [matemática] m = s ^ 2 + 1 \ equiv 2 \ pmod {4} [/ matemática], y por lo tanto [matemática] A = 3mrs [/ matemática] no es múltiplo de [ matemáticas] 4 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] m [/ math] no puede ser incluso si [math] 4 \ mid A [/ math].

Caso 2. [matemática] (m [/ matemática] es impar [matemática]) [/ matemática] El segundo conjunto da [matemática] x ^ 2–3y ^ 2 = \ pm 1 [/ matemática] al eliminar [matemática] m [/ math], y de nuevo solo podemos tener [math] x ^ 2–3y ^ 2 = 1 [/ math] mirando esto [math] \ bmod {3} [/ math], como en el caso [math] 1 [/ matemáticas]. Todas las soluciones [matemáticas] (x_N, y_N) [/ matemáticas] en enteros positivos están dadas por

[matemáticas] x_N + y_N \ sqrt {3} = (2+ \ sqrt {3} \ big) ^ N, N \ in {\ mathbb Z} _ {\ ge 0} \ ldots (5) [/ math]

De [matemáticas] x_ {N + 1} + y_ {N + 1} \ sqrt {3} = \ big (X_N + y_N \ sqrt {3} \ big) \ cdot \ big (2+ \ sqrt {3} \ grande) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] x_ {N + 1} = 2x_N + 3y_N, \ quad y_ {N + 1} = x_N + 2y_N para N \ in {\ mathbb Z} _ {\ ge 0} \ ldots (6) [/ matemáticas]

Esta recurrencia es, por supuesto, la misma que la dada por eqn. [matemáticas] (4) [/ matemáticas].

En este caso, [matemática] r ^ 2–3s ^ 2 = \ frac {m + 1} {2} – \ frac {m-1} {2} = 1 [/ matemática] y [matemática] A = 6mrs [/ math] es un múltiplo de [math] 20 [/ math].

Usando eqn. [matemática] (6) [/ matemática], calculamos los primeros términos en la secuencia [matemática] \ big (r_N, s_N, m_N \ big) [/ matemática] hasta [matemática] 20 \ mid A [/ matemática] : [matemáticas] (2,1,7) [/ matemáticas], [matemáticas] (7,4,97) [/ matemáticas], [matemáticas] (26,15,1351) [/ matemáticas]. El primer término para cumplir con el requisito [matemática] 20 \ mid A [/ matemática] es [matemática] r_3 = 26 [/ matemática], [matemática] s_3 = 15 [/ matemática] y [matemática] m_3 = 1351 [/ matemáticas].

La [matemática] n [/ matemática] más pequeña en este caso es [matemática] 2 \ cdot 1351 = 2702 [/ matemática], el conjunto de tres enteros consecutivos es [matemática] 2701 [/ matemática], [matemática] 2702 [ / matemáticas], [matemáticas] 2703 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] es una solución trivial que da lados 1,2,3 y, por lo tanto, el triángulo degenerado, área 0. ¿Hemos terminado?

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Digamos que no. El teorema de Arquímedes dice que el área del triángulo [matemática] A [/ matemática] está relacionada con los lados [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] así:

[matemáticas] 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Enchufemos [matemáticas] a = n, b = n + 1, c = n + 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] 16A ^ 2 = 4n ^ 2 (n + 1) ^ 2 – ((n + 2) ^ 2 – n ^ 2 – (n + 1) ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = 4n ^ 2 (n + 1) ^ 2 – ((4n + 4 – n ^ 2 -2n -1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = 4n ^ 2 (n + 1) ^ 2 – (n ^ 2 – 2n – 3) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = 4n ^ 2 (n + 1) ^ 2 – ((n + 1) (n-3)) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = (n + 1) ^ 2 (4n ^ 2 – (n-3) ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = (n + 1) ^ 2 (2n – (n-3)) (2n + n – 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] 16A ^ 2 = 3 (n + 1) ^ 2 (n + 3) (n – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 (20k) ^ 2 = 3 (n + 1) ^ 2 (n + 3) (n – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (80 k) ^ 2 = 3 (n + 1) ^ 2 (n + 3) (n – 1) \ quad [/ matemáticas] para entero [matemáticas] k> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = \ frac 1 {80} \ sqrt {3} (n + 1) \ sqrt {(n + 3) (n-1)} [/ matemáticas]

Entonces [math] (n + 3) (n-1) [/ math] debe tener un número impar de potencias de 3, entonces un [math] \ sqrt {3} [/ math] multiplica nuestro [math] \ sqrt {3 } [/ math] para dar un número entero. Entonces, el interior de la raíz cuadrada debe ser tres veces un cuadrado perfecto.

[matemáticas] (n + 3) (n-1) = 3l ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 + 2n -3 (l ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = -1 \ pm \ sqrt {4 + 3l ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m ^ 2 = 4 + 3l ^ 2 [/ matemáticas]

Esa es una ecuación de Pell generalizada, pero no voy por ese agujero de conejo.

Miremos fijamente

[matemáticas] (80 k) ^ 2 = 3 (n + 1) ^ 2 (n + 3) (n – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 80 = 2 ^ 4 \ cdot 5 [/ matemáticas]

Entonces, el lado derecho debe ser igual a [matemática] 2 ^ 8 \ cdot 3 \ cdot 5 ^ 2 f ^ 2, [/ matemática] ocho factores de 2, dos factores de 5, un factor 3 y el factor restante un cuadrado perfecto.

Podemos ver que [math] n [/ math] debe ser extraño porque de lo contrario no habría forma de obtener los poderes de dos. Vamos a configurar [matemáticas] m = 2n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (80 k) ^ 2 = 48 m (m + 1) ^ 2 (m + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (20k) ^ 2 = 3 m (m + 1) ^ 2 (m + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 20 k = (m-1) \ sqrt {3m (m + 2)} [/ matemáticas]

Si vamos a recoger ese factor adicional de [math] \ sqrt {3}, [/ math] [math] m [/ math] debe ser impar. Vamos a configurar [matemáticas] m = 2p-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 20 k = 2 (p-1) \ sqrt {3 (2p -1) (2p + 1)} = 2 (p-1) \ sqrt {3 (4p ^ 2 -1)} [/ matemáticas]

Quizás progreso. Es mi aniversario, así que voy a presionar Enviar y prestarle atención a mi esposa por un tiempo, tal vez vuelva a esto más tarde.

Parece que podemos generar una sucesión de ecuaciones diofantinas. Retrocedamos y consideremos

[matemáticas] m ^ 2 = 4 + 3l ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] m ^ 2 – 3 l ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

La constante 4 es un bonito cuadrado, por lo que podemos dejar que [matemática] m = 2M [/ matemática], [matemática] l = 2L [/ matemática] y resolver la ecuación de Pell simple:

[matemáticas] M ^ 2 – 3L ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Omitiré la expansión de fracción continua de [math] \ sqrt {3} [/ math] que nos da la solución particular, obtenida fácilmente por prueba y error, de [math] (2,1). [/matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 – 3 \ cdot 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Si factorizamos y elevamos a la potencia entera [matemática] k [/ matemática], obtenemos

[matemáticas] (2 + 1 \ sqrt 3) ^ k (2 – 1 \ sqrt 3) ^ k = 1 [/ matemáticas]

Entonces, la solución general [matemáticas] M + L \ sqrt 3 = (2 + 1 \ sqrt 3) ^ k [/ matemáticas]

Si tenemos [math] M_i, L_i [/ ​​math] como solución, la siguiente solución es

[matemáticas] M_ {i + 1} + L_ {i + 1} \ sqrt 3 = (2 + 1 \ sqrt 3) (M_i + L_i \ sqrt 3) = (2 M_i + 3 L_i) + (M_i + 2 L_i ) \ sqrt 3 [/ math]

[matemáticas] M_ {i + 1} = 2 M_i + 3 L_i [/ ​​matemáticas]

[matemáticas] L_ {i + 1} = M_i + 2 L_i [/ ​​matemáticas]

Obtenemos [matemáticas] (2,1), (7,4), (26,15) [/ matemáticas]

Comprobación: [matemáticas] 7 ^ 2 – 3 \ 4 ^ 2 = 1 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] 26 ^ 2 – 3 \ 15 ^ 2 = 4 * 169 – 3 * 225 = 1 \ quad \ marca de verificación. [/ matemáticas]

Nuestro objetivo es

[matemáticas] m ^ 2 = 4 + 3l ^ 2 [/ matemáticas]

La misma recursión que comienza con [math] (4,2) [/ math] funciona: [math] (4,2), (14,8), (52,30) [/ math] y también lo harán las comprobaciones.

[matemáticas] m + l \ sqrt 3 = 2 (2 + 1 \ sqrt 3) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] m – l \ sqrt 3 = 2 (2 – 1 \ sqrt 3) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] l \ sqrt 3 = (2 + 1 \ sqrt 3) ^ k – (2 – 1 \ sqrt 3) ^ k [/ matemáticas]

(l \ sqrt 3) ^ 2 = 3 l ^ 2 = [matemáticas] (2 + 1 \ sqrt 3) ^ {2k} + (2 – 1 \ sqrt 3) ^ {2k} + 2 (-1) ^ k [/matemáticas]

[matemáticas] n = -1 \ pm \ sqrt {4 + 3l ^ 2} [/ matemáticas]

Para continuar tal vez

Answer 3

La respuesta que encontré es el triángulo con lados [matemática] 2701 [/ matemática], [matemática] 2702 [/ matemática] y [matemática] 2703 [/ matemática] unidades.

Deje [math] m = n + 1 [/ math], para que el triángulo tenga lados [math] m-1 [/ math], [math] m [/ math] y [math] m + 1 [/ math] . (Esto hace que los cálculos sean un poco más fáciles, en mi opinión). Según la fórmula de Heron, el área de un triángulo de lados [matemática] m-1 [/ matemática], [matemática] m [/ matemática] y [matemática] m + 1 [/ math] es

[matemáticas] \ sqrt {s (s-m + 1) (sm) (sm-1)} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] s = \ dfrac {m-1 + m + m + 1} {2} = \ dfrac {3m} {2} [/ matemáticas]. La fórmula del área se simplifica así

[matemáticas] A = \ sqrt {\ dfrac {3m} {2} \ left (\ dfrac {m} {2} +1 \ right) \ left (\ dfrac {m} {2} \ right) \ left (\ dfrac {m} {2} -1 \ right)} [/ math]

[matemáticas] A = \ dfrac {m \ sqrt {3}} {2} \ sqrt {\ dfrac {m ^ 2} {4} -1}. [/ matemáticas]

Requerimos el más pequeño [math] m [/ math] de tal manera que [math] A [/ math] sea un múltiplo de [math] 20 [/ math] Por supuesto, primero requerimos que [math] A [/ math] sea un número entero. Esto sucede cuando la expresión [math] \ dfrac {m ^ 2} {4} -1 [/ math] es tres veces por cuadrado, de modo que [math] z = \ sqrt {3} \ sqrt {\ dfrac {m ^ 2} {4} -1} [/ math] es un número entero.

Al hacer una hoja de Excel, noté que los enteros de [matemática] x [/ matemática] de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 209 [/ matemática] tal que [matemática] 3x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado son [matemáticas] 1,4,15,56 [/ matemáticas] y [matemáticas] 209 [/ matemáticas]. Desafortunadamente, ninguno de estos valores me da un área que es un múltiplo de [matemáticas] 20 [/ matemáticas]. Entonces noté que esta secuencia de números parece tener la siguiente relación de recurrencia:

[matemáticas] a_1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {n + 2} = 4a_ {n + 1} -a_n. [/ matemáticas]

Según esta regla, el siguiente número en la secuencia es [matemática] 780 [/ matemática]. Cuando [matemáticas] x = 780, 3x ^ 2 + 1 = 1825201 [/ matemáticas], que de hecho es un cuadrado [matemáticas] (1351 ^ 2) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] m = 1351 \ times 2 = 2702 [/ math] es el siguiente número a intentar. Para este número,

[matemáticas] A = \ dfrac {2702 \ sqrt {3}} {2} \ sqrt {\ dfrac {2702 ^ 2} {4} -1} = 3161340 [/ matemáticas]

que es un múltiplo de [matemáticas] 20 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] m = 2702 [/ matemáticas], o [matemáticas] n = 2701 [/ matemáticas], es el número más pequeño que tiene esta propiedad.

El único espacio en blanco que necesito completar es demostrar que la relación de recurrencia de la que hablé antes me da el siguiente cuadrado del formulario [matemáticas] 3x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. La prueba radica en el hecho de que las soluciones enteras de la ecuación [matemáticas] y ^ 2-3x ^ 2 = 1 [/ matemáticas] resultan ser un caso bien estudiado de la ecuación de Pell.

Answer 4

El semiperímetro del triángulo viene dado por

[matemáticas] s = \ frac {n + n + 1 + n + 2} 2 = \ frac 32 (n + 1) [/ matemáticas]

Luego, la fórmula de Heron da el área del triángulo en función de [math] n [/ math] como:

[matemáticas] A (n) = \ sqrt {s \ left (sn \ right) \ left (sn-1 \ right) \ left (sn-2 \ right)} [/ math]

Es bastante simple escribir un script para encontrar valores de [math] n [/ math] para los cuales [math] A (n) [/ math] es un múltiplo de 20. Aquí hay uno escrito en Matlab / Octave:

n = 1: 1e5; % valores de n para verificar
s = 3/2 * (n + 1); % semiperimetro para cada n
a = sqrt (s. * (sn). * (sn-1). * (sn-2)); % de área para cada n
disp (n (mod (a, 20) == 0))% reporta valores de n para los cuales a es divisible por 20

Este breve script devuelve solo dos valores. El primero es [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], pero lamentablemente, esto da un “triángulo” con lados de [matemáticas] 1,2,3 [/ matemáticas] y estas longitudes violan la desigualdad del triángulo. El segundo valor de [math] n [/ math] encontrado es [math] n = 2701 [/ math] que, de hecho, es el valor más pequeño de [math] n [/ math] que cumple con su criterio.