El área total (unilateral) de la envoltura de lámina de plástico es
[matemáticas] (2 \ pi {+} 18) r \ veces {L} [/ matemáticas]
donde [math] r [/ math] es el radio del círculo y [math] L [/ math] es la longitud del cilindro.
Explicación
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El área de la hoja es la longitud de uno de esos cilindros multiplicada por la longitud de la línea en forma de triángulo que rodea las caras circulares en el diagrama, por lo que la mayor parte de la dificultad se gastaría en calcular la longitud de esta línea.
Considere que una pila de cilindros perfectamente apilados tendrá el centro de cada una de las caras circulares formando triángulos equiláteros. Podemos extender los lados del triángulo para hacer un triángulo invertido invertido:
El ángulo que abarca [matemática] a [/ matemática] es, por supuesto, [matemática] 60 \ deg [/ matemática]. Los lados de los triángulos son paralelos a las líneas formadas por la envoltura de plástico. Sin embargo, la intersección entre el triángulo y los círculos no es donde la envoltura toca primero el cilindro superior, que en realidad es [matemática] 30 \ deg [/ matemática] más en cada lado del triángulo:
Se muestra un lado de la extensión de la línea triangular . El mismo razonamiento se aplica al otro lado del triángulo. Ángulo recto dibujado para aclaración.
La distancia más corta entre dos líneas paralelas, una que toca la superficie de un círculo y la otra que cruza el centro del círculo, es la longitud de un segmento de línea perpendicular que se extiende entre ambas.
Extender el ángulo [matemática] a = 60 \ deg [/ matemática] en ambos lados por [matemática] 30 \ deg [/ matemática] da como resultado el ángulo [matemática] b [/ matemática] [matemática] = 60 \ deg {+ } 2 \ times {30} \ deg = [/ math] [math] 120 \ deg [/ math].
Ahora [matemática] 120 \ deg [/ matemática] es el ángulo que abarca el segmento circular de un tercio de un círculo. Entonces, la distancia de la línea envuelta alrededor de uno de los círculos de las esquinas (que se muestra en el contorno naranja a continuación) es [matemática] 1/3 [/ matemática] de la circunferencia del círculo.
Hay tres de estos círculos de esquina, por lo que la distancia total envuelta alrededor de los círculos de esquina es
[matemáticas] 3 \ text {(círculos de las esquinas)} \ times {1/3} \ times {2 \ pi {r}} = 2 \ pi {r} [/ math]
El resto del envoltorio abarca 3 diámetros de círculo para cada lado del grupo envuelto, por lo que la distancia total requerida para envolver el grupo de círculos apilados es
[matemáticas] 2 \ pi {r} +3 \ text {(para los tres lados del grupo envuelto)} \ times {3} \ text {(diámetros de círculo)} \ times {2r} = (2 \ pi {+ } 18) r [/ matemáticas]
El área total (unilateral) de la envoltura de lámina de plástico es entonces
[matemáticas] (2 \ pi {+} 18) r \ veces {L} [/ matemáticas]