Supongo que está buscando una respuesta sin el uso de una calculadora, así que usemos el Método de Newton para calcular las raíces cuadradas de los números.
Para encontrar una raíz cuadrada de un número [matemática] S [/ matemática] o [matemática] \ sqrt S [/ matemática] es lo mismo que encontrar la solución a la ecuación [matemática] f (x) = x ^ 2 – S = 0, [/ matemática] [matemática] \ para todos x> 0 [/ matemática]
El método de Newton establece que:
[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} = x_n – \ frac {x ^ 2_n – S} {2x_n} = \ frac {1} {2 } (x_n + \ frac {S} {x_n}), [/ math] que, como podemos ver, simplifica el método analítico babilónico de búsqueda de raíz cuadrada.
- ¿Cuál es la raíz de 2401?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de 108?
- ¿Cuáles son las raíces cuadradas de [matemáticas] \ frac {-1-i \ sqrt 3} {2} [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada del cuadrado de (-1)?
- ¿Cómo puede un número infinitamente largo como la raíz cuadrada de 2 representar una longitud finita?
Entonces, en nuestro caso tenemos [matemáticas] S = 12345678910 [/ matemáticas]
Para nuestro valor inicial, escojamos un [math] x_0 = 1.2 \ times 10 ^ 5 [/ math]
Entonces tenemos
[matemáticas] \ sqrt S \ approx x_1 = \ frac {1} {2} (x_0 + \ frac {S} {x_0}) = \ frac {1} {2} (120000 + \ frac {12345678910} {120000} ) = \ frac {1} {2} 222880.65758333 = 111440.32879165 [/ matemáticas]
Repitiendo el mismo paso para mayor precisión,
[matemáticas] x_2 = \ frac {1} {2} (x_1 + \ frac {S} {x_1}) = 111115.519 [/ matemáticas]
Como puede ver, si compara con una de las respuestas a continuación, que muestra el resultado de la calculadora, es bastante precisa. Si repite el proceso más abajo, eventualmente encontrará la solución exacta porque la precisión aumenta cuadráticamente, es decir, en cada paso adicional, obtiene 2 dígitos más de precisión.
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