¿Por qué [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 [/ math]?

Answer 1

Método 1: expansión de Taylor

Sabemos

[matemáticas] \ begin {align} \ sen x & = \ sum_ \ limits {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} = x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ cdots \\\ dfrac {\ sin x} x & = 1- \ dfrac {x ^ 2} {3!} + \ Dfrac {x ^ 4} {5!} – \ dfrac {x ^ 6} {7!} + \ Cdots \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]

Tome el límite como [matemáticas] x \ a 0 [/ matemáticas], la sustitución directa funcionará. Y tienes tu respuesta.

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Método 2: Regla del Hospital L ‘

La sustitución directa produce [math] \ dfrac {0} {0} [/ math], una forma indeterminada . Aplicando la regla de L ‘Hospital …

[matemáticas] \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = \ lim_ \ limits {x \ to 0} \ dfrac {\ cos x} {1} = 1 \ tag * { }[/matemáticas]

Como señaló Frank Wei, este límite no debe evaluarse utilizando la regla de L ‘Hospital, ya que el resultado en sí mismo es necesario para calcular el límite. También lo sé, pero así es como me enseñaron en los libros que encontré, junto con la observación de que “Usar la Regla de L ‘Hospital para este límite en realidad significa ir en círculos, por lo que no es un método favorable al menos para esto problema.”

Mi punto es que si los límites aún tienen limitaciones durante la evaluación, entonces debería haber un ligero cambio en la forma en que se nos enseña sobre ellos. Quizás enumere algunos de estos límites y diga sí, puede usar la regla de L ‘Hospital, pero recuerde que todavía está aceptando el resultado de la prueba para probar el problema dado.

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Método 3: usar una aproximación bien conocida

Recuerde que para [matemática] x \ aprox 0 [/ matemática] tenemos [matemática] \ sin x \ aprox \ tan x \ aprox x [/ matemática]

[matemáticas] \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = \ lim_ \ limits {x \ to 0} \ dfrac {x} {x} = 1 \ tag * {} [ /matemáticas]

---

Método 4: Prueba geométrica con teorema de compresión

Considere el círculo unitario

[matemáticas] \ begin {align} \ tan \ theta & = \ dfrac y1 \\ y & = \ tan \ theta \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Área de} \ Delta OCB & \ le \ text {Área de sector} OCB \ le \ text {Área de} \ Delta OAB \\\ dfrac12ab \ sin \ theta & \ le \ dfrac12r ^ 2 \ theta \ le \ dfrac12bh \\\ dfrac12 \ times1 \ times1 \ times \ sin \ theta & \ le \ dfrac12 \ times1 ^ 2 \ times \ theta \ le \ dfrac12 \ times1 \ times y \\\ dfrac12 \ sin \ theta & \ le \ dfrac12 \ theta \ le \ dfrac12 \ tan \ theta \\\ dfrac12 \ sin \ theta & \ le \ dfrac12 \ theta \ le \ dfrac12 \ cdot \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \ \\ sin \ theta & \ le \ theta \ le \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \\ 1 & \ le \ dfrac {\ theta} {\ sin \ theta} \ le \ dfrac1 {\ cos \ theta} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Desde entonces, [math] \ lim_ \ limits {\ theta \ to 0} 1 = 1 = \ lim_ \ limits {\ theta \ to 0} \ dfrac {1} {\ cos \ theta} \ tag * {} [/ math ]

Por lo tanto, [matemáticas] \ lim_ \ límites {\ theta \ a 0} \ dfrac {\ sin \ theta} {\ theta} = 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

a través del teorema de compresión .

Como [math] \ theta [/ math] es una variable ficticia, también podemos escribir

[matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 2

Una de las muchas maneras de probar este límite es estudiar el signo de las funciones [matemáticas] f (x) = x- \ sin {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = \ sin {x} -x \ cos {x} [/ math] en ciertos vecindarios de [math] 0. [/ math]

Vamos a manejar la parte positiva primero. Vamos a trabajar en el intervalo [matemáticas] \ izquierda] 0, \ dfrac {\ pi} {2} \ derecha [. [/ Matemáticas]

Primero, observe que ambas funciones son diferenciables en cada intervalo de [math] \ R [/ math] (porque son la suma y el producto de algunas funciones elementales que se sabe que son diferenciables).

Vamos a proceder …

[matemáticas] f ^ {\ prime} (x) = 1- \ cos {x} [/ matemáticas]

Como [math] \ cos {x} \ leq 1, \ forall x \ in \ R [/ math] entonces [math] f ^ {\ prime} (x) \ geq 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] f [/ math] está aumentando y dado que [math] f (0) = 0 [/ math], podemos concluir que [math] f (x) \ geq 0, \ forall x \ in \ left] 0, \ dfrac {\ pi} {2} \ right [[/ math]. Bueno.

Lo mismo se hará para [math] g [/ math].

[matemáticas] g ^ {\ prime} (x) = x \ sin {x} [/ matemáticas]

lo cual es claramente positivo en nuestro intervalo. También [math] g (0) = 0 [/ math] así que [math] g (x) \ geq 0 [/ math] también.

Combinando estos dos hechos interesantes, obtenemos

[matemáticas] x \ cos {x} \ leq \ sin {x} \ leq x [/ matemáticas]

que (en nuestro intervalo de valores positivos de [matemáticas] x [/ matemáticas]) es lo mismo que

[matemáticas] \ cos {x} \ leq \ dfrac {\ sin {x}} {x} \ leq 1 [/ matemáticas]

De allí, se sigue del teorema de Squeeze que

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ dfrac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemáticas]

Para probar lo mismo para los valores negativos, solo tenemos que notar que [math] f [/ math] y [math] g [/ math] son ​​funciones impares, entonces, en el intervalo [math] \ left] – \ dfrac { Las cosas \ pi} {2}, 0 \ right [[/ math] funcionan a la inversa. De hecho, en ese intervalo, [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] toman valores negativos produciendo la desigualdad

[matemáticas] x \ leq \ sin {x} \ leq x \ cos {x} [/ matemáticas]

que (en nuestro nuevo intervalo de valores negativos de [matemáticas] x [/ matemáticas]) es el mismo que

[matemáticas] \ cos {x} \ leq \ dfrac {\ sin {x}} {x} \ leq 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el mismo teorema nos permite concluir que

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {-}} \ dfrac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemáticas]

En conclusión, definitivamente tenemos

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemáticas]

Answer 3

Esencialmente, definimos radianes como las unidades que hacen que esto se haga realidad.

Podemos pensarlo de esta manera: ¿Qué sucede cuando gira el vector unitario [matemática] \ langle 1, 0 \ rangle [/ math] por [math] \ theta [/ math] radianes, para obtener [math] \ langle \ cos (\ theta), \ sin (\ theta) \ rangle [/ math]? Bueno, nuestro vector original oscila circularmente, su punta trazando un arco de longitud [matemática] \ theta [/ matemática] (esto es lo que significa medir en radianes; la longitud del arco trazado es el ángulo multiplicado por el radio). Además, la punta comienza moviéndose perpendicularmente al vector original (ya que las tangentes de movimiento a lo largo de un círculo son perpendiculares a los radios del círculo).

Por lo tanto, si [math] \ theta [/ math] es “infinitesimalmente pequeño”, la coordenada x de la punta permanece básicamente igual mientras que la coordenada y aumenta básicamente toda la longitud del arco [math] \ theta [/ math]. Esto significa [matemáticas] \ langle \ cos \ theta, \ sin \ theta \ rangle \ approx \ langle 1, \ theta \ rangle [/ math] en sentido adecuado, y de esto encontramos que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ { \ theta \ to 0} \ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta} = 1 [/ math], y también, [math] \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {\ cos ( \ theta) – 1} {\ theta} = 0 [/ math]. De manera más general, obtenemos las derivadas de seno y coseno por este mismo argumento.

Answer 4

Para una prueba geométrica sólida, vea la primera respuesta en ¿Cómo demostrar que lim sin (x) / x = 1?

La idea básica es comparar [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] con [matemáticas] \ tan x [/ matemáticas], según el siguiente diagrama:

Answer 5

La forma apropiada de demostrarlo depende de lo que “sepamos” sobre la función seno. Cómo definimos la función es esencial. Muchas respuestas presuponen una comprensión “madura” de la función seno, en la que consideramos que [matemática] \ sen x [/ matemática] se define mediante una serie de potencias, o se define como la solución a un problema de valor límite particular. Estas perspectivas generalmente son inútiles para un estudiante que recién comienza a calcular, por lo que trabajaré a partir de la comprensión del estudiante promedio de cálculo de [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas], como una relación trigonométrica.

Imaginemos un ángulo con medida en radianes [matemática] x [/ matemática]. (Podemos usar [math] \ theta [/ math] si lo desea, o cualquier otra variable con la que se sienta cómodo. Pero usaré [math] x [/ math] para que coincida con el formulario que dio en la pregunta. )

Dibuje un círculo con radio 1. (1 pulgada, 1 pie, 1 metro, 1 squalfkmybk, o lo que quiera). Dibuje un sector del círculo con ángulo central [matemática] x [/ matemática], de modo que la longitud del el arco subtendido es [math] x [/ math]. Ahora: mira los puntos finales del arco. Dibuje una altitud desde uno de esos puntos finales hasta el radio que va al otro punto final. (Para ser claros: su nuevo segmento de línea debe formar un ángulo recto con el otro radio, dentro del círculo). Ahora debería tener un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa tiene longitud 1 y uno de los ángulos agudos tiene medida [matemática] x [/matemáticas]. El lado opuesto al ángulo tiene medida [matemática] \ sen x [/ matemática].

Ahora, aquí les voy a dar una idea aproximada de lo que se supone que debe mostrar esta prueba, para que podamos “verla” en la imagen. Podemos ver claramente que [matemática] \ sen x al teorema de compresión.

Para obtener nuestro útil límite superior para [matemáticas] x [/ matemáticas], dibuje otro triángulo rectángulo en el mismo dibujo que le permitirá ver que [matemáticas] x <\ tan x [/ matemáticas]. (Te dejaré pensar en cómo hacerlo, pero aquí hay una pista: el lado opuesto debe ser "tangente" al círculo).

Ahora vemos que [math] \ sin x

La “prueba” que acabo de dar todavía está muy incompleta. Por ejemplo, realmente no he dado un argumento para apoyar la idea de que [math] x <\ tan x [/ math]; Solo te he dado una forma de hacer un dibujo que espero sea intuitivamente lo suficientemente convincente como para mostrarte que vale la pena intentar demostrar que [matemáticas] x <\ tan x [/ matemáticas]. Esta parte sería un problema geométrico que no debería estar muy lejos de su alcance, aunque puede requerir que “vuelva a crecer” y expanda parte de su conocimiento de geometría de antes. Es posible que prefiera que le digan cómo hacerlo, pero luchar un poco con sus matemáticas es la única forma de dominarlo realmente. El camino general del argumento está esbozado, y eso al menos debería ser una razón para seguir con él (suponiendo que tenga la curiosidad de intentar llenar este vacío).

Answer 6

Respete todas las respuestas que prueben este límite de manera correcta. Aquí está mi manera de mostrar este límite a un niño de 6 años, sin que se requiera conocimiento previo. Tenga en cuenta que esto no es una prueba!

Aquí están nuestras dos funciones:

¿Notaste algo? Hagamos un poco de zoom:

Y un zoom más:

Ahora, podemos decir que después de cruzar algún punto, sin (x) yx son casi idénticos. Para números negativos, la situación es la misma:

Bien, verdad? Entonces vemos que en algún intervalo realmente cercano a 0, sin (x) yx se comportan igual. ¿Y qué obtenemos cuando dividimos dos números idénticos?

Sí, es el 1.

Answer 7

f (x) = sen x / x

Comencemos con Geometría simple y relación

Deje, θ es un ángulo en radianes. Desde la relación del ángulo en radianes, θ = s / r donde s es un arco hecho por ese ángulo yr es el radio.

Ahora sabemos, sin θ = l / r

Cuando θ → 0 entonces l = arco s

Por lo tanto, lim θ → 0 (sin θ) = θ

=> lim θ → 0 (sin θ / θ) = 1

Otra prueba rigurosa,

Deje, APB es un arco de un círculo cuyo centro es O y radio OP que divide el acorde AB en D. Por lo tanto, el arco APB se divide por OP. Las tangentes de A y B se cruzan en C fuera de OP.

Supongamos que ∠POA = θ radian & 0 <θ <π / 2

Ahora, acorde AB

=> 2 AD <2 Arc AP <2 AC

=> AD / OP

Entonces, sin θ <θ

=> 1 <θ / sin θ <1 / cos θ

=> cos θ

Cuando θ → 0, cos θ → 1, entonces el valor de sen θ / θ es aproximado a 1

lim θ → 0 (sin θ / θ) = 1

Para otra prueba visite este video:

Answer 8

Tiene algunas opciones para ver por qué el límite es [matemática] 1 [/ matemática]. Mi favorito personal, que creo que es el más transparente, es expandir [math] \ sin x [/ math] en su serie Taylor:

[matemáticas] \ sin x = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + \ cdots + (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1 }} {(2n + 1)!} + \ Cdots [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ frac {\ sin x} {x} = \ frac {1} {x} \ cdot (x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5! } + \ cdots + (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} + \ cdots) = \ frac {x} {x} – \ frac {x ^ 2} {3!} + \ Frac {x ^ 4} {5!} + \ Mathcal {O} (x ^ 6) = 1 + \ mathcal {O} (x ^ 2). [/ Math]

Desde aquí, podemos evaluar el límite directamente conectando [math] x = 0 [/ math]. El único término en la serie que sobrevive es [matemática] 1 [/ matemática], entonces [matemática] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} {x} = 1. [/ Matemática]

Answer 9

Intente dibujar la curva de sinx y notará que a medida que se acerque más y más a 0 (vaya a Desmos | Beautiful, Free Math y amplíe el gráfico sin x), notará que el gráfico se asemeja a ay = x. Entonces, a medida que te acercas más y más a 0, sen x actúa como x.

Entonces, el límite es cuando sen x = x. ¿Cuándo es sen x = x? A 0 por supuesto! Pero intente usar su calculadora para evaluar sin (0.000001) y otras cosas, y notará que los valores están muy cerca de los valores que inserta.

Answer 10

Hay una prueba simple usando la regla de L’höpital. El límite izquierdo es una forma 0/0, por lo tanto, al diferenciar tanto el numerador como el denominador por separado, obtenemos cos x.

Cuando x tiende a 0, cos x tiende a 1. Por lo tanto, el límite dado se evalúa a 1.

Lea más sobre la regla de L’höpital aquí: la regla de L’Hôpital – Wikipedia

Answer 11

Desafortunadamente, ni la serie Taylor ni las respuestas basadas en reglas de l’Hopital pueden calificarse como pruebas rigurosas porque introducen un argumento circular: ambos métodos requieren el cálculo de una derivada de la función [matemáticas] f (x) = \ sin ( x) [/ math], para calcular cuál debemos saber cuál es el límite en cuestión. En otras palabras, mientras buscamos A, introducimos B, pero para encontrar B debemos saber qué es A.

No es tan difícil construir una prueba lo suficientemente rigurosa que pase como aceptable en un curso de “Análisis matemático”. Aquí hay una versión: en el dibujo a continuación [math] \ triangle AOC [/ math] es un triángulo isósceles contenido dentro del sector circular [math] OApC [/ math] que, a su vez, está contenido dentro del triángulo rectángulo [math] OAB [/ matemáticas]. El segmento de línea [matemática] AB [/ matemática] es perpendicular al rayo [matemática] OA [/ matemática]:

Del libro “Elementos” de Euclides [matemática] 3 [/ matemática] Proposición [matemática] 16 [/ matemática] se deduce que las áreas cuadradas de los objetos anteriores se ordenan por tamaño de la siguiente manera:

[matemáticas] A _ {\ triangle OAC}

En esa proposición, Euclides (básicamente) demuestra que es imposible apretar otra línea recta entre [matemática] AB [/ matemática] y la circunferencia del círculo [matemática] q [/ matemática] en el punto [matemática] A [/ matemática ] de tal manera que esa nueva línea recta se coloca entre [math] AB [/ math] y [math] p [/ math]. Por el contrario, significa que cualquier línea recta que corta el ángulo recto [matemática] OAB [/ matemática] necesariamente cae dentro del círculo, como lo hace la señal de línea [matemática] AC [/ matemática] arriba. Luego, usando las fórmulas para las áreas de un triángulo y de un sector circular y el hecho de que el ángulo [matemático] AOC [/ matemático] se mide en radianes, tenemos:

[matemáticas] \ frac {OA \ veces CH} {2} <\ frac {\ alpha_n \ veces r ^ 2} {2} <\ frac {OA \ veces AB} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 \ sin (\ alpha_n) <\ alpha_n \ times r ^ 2

[matemáticas] \ sin (\ alpha_n) <\ alpha_n <\ tan (\ alpha_n) [/ math]

Observe la desigualdad más a la izquierda:

[matemáticas] \ sin (\ alpha_n) <\ alpha_n [/ matemáticas]

ya que lo usaremos más adelante. Luego, consideramos que [math] 0 <\ alpha_n <\ frac {\ pi} {2} [/ math] y eso nos da el derecho de dividir la última doble desigualdad entre [math] \ sin (\ alpha_n) [ /matemáticas]:

[matemáticas] 1 <\ frac {\ alpha_n} {\ sin (\ alpha_n)} <\ frac {1} {\ cos (\ alpha_n)} [/ math]

Como [math] \ cos (x) [/ math] es una función par y [math] f (x) = x [/ math] y [math] \ sin (x) [/ math] son ​​impares, el recíproco Los valores de la desigualdad anterior son:

[matemáticas] 1> \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n}> \ cos (\ alpha_n) [/ matemáticas]

Multiplica lo anterior por [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y voltea los signos de desigualdad:

[matemáticas] -1 <- \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n} <- \ cos (\ alpha_n) [/ matemáticas]

Agregue [math] 1 [/ math] a lo anterior:

[matemáticas] 0 <1 - \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n} <1 - \ cos (\ alpha_n) [/ matemáticas]

Pero:

[matemáticas] 1 – \ cos (\ alpha_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha_n} {2}) <2 \ sin (\ frac {\ alpha_n} {2}) <2 \ frac {\ alpha_n } {2} = \ alpha_n [/ math]

debido a la desigualdad “más a la izquierda” que hemos demostrado anteriormente (ver arriba). Ahora:

[matemáticas] 1 – \ cos (\ alpha_n) <\ alpha_n [/ matemáticas]

y eso significa que:

[matemáticas] 0 <1 - \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n} <\ alpha_n [/ matemáticas]

Como supusimos anteriormente que [matemáticas] 0 <\ alpha_n <\ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas], podemos usar los valores absolutos en las desigualdades anteriores:

[matemáticas] | \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n} -1 | <| \ alpha_n | [/ math]

que se ajusta a la definición de límite [matemática] \ epsilon, \ delta [/ matemática]: para cualquier [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] elegimos [matemática] \ delta = min (\ epsilon, \ frac { \ pi} {2}) [/ math]:

[matemáticas] | \ frac {\ sin (\ alpha_n)} {\ alpha_n} -1 | <| \ alpha_n | = | \ alpha_n - 0 | <\ delta [/ matemáticas]

Ahora, si estuviéramos estudiando no una variante “continua” sino una secuencia discreta, entonces estableceríamos [matemáticas] \ alpha_n = \ frac {\ pi} {2n} [/ matemáticas] y tendríamos:

[matemáticas] \ alpha_n = \ frac {\ pi} {2n} <\ delta \ leq \ epsilon [/ matemáticas]

de donde:

[matemáticas] n> \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} [/ matemáticas]

y finalmente:

[matemática] \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existe N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad: \ quad \ forall n> N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha_n)} { \ alpha_n} – 1 | <\ epsilon [/ math]

En cualquier caso, significa que:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 [/ matemáticas]

Observe que, como una ventaja adicional en esta línea de razonamiento, demostramos automáticamente que:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ cos (x) = 1 [/ matemáticas]

Y de la desigualdad deducida anteriormente [matemática] \ sin (\ alpha_n) <\ alpha_n [/ matemática] se deduce que tan pronto como [matemática] | \ alpha_n - 0 | <\ delta [/ math] tenemos [math] | \ sin (\ alpha_n) - 0 | <\ epsilon [/ math] que significa que:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ sin (x) = 0 [/ matemáticas]

De donde se deduce inmediatamente que podemos calcular el siguiente límite:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ tan (x) = 0 [/ matemáticas]

(dejado como ejercicio para el lector), etc.

Para celebrar nuestra victoria, calculemos el siguiente límite que tiene todo que ver con la expresión funcional de esta pregunta:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ prod_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) [/ matemáticas]

donde [math] \ phi [/ math] es un número arbitrario distinto de cero (real). Escriba los primeros términos del producto:

[matemáticas] \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) [/ math]

Comience con la identidad de medio ángulo:

[matemáticas] \ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2}) [/ matemáticas]

Aplíquelo nuevamente a [math] \ sin (\ frac {\ phi} {2}) [/ math]:

[matemáticas] \ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) [/ matemáticas]

Y de nuevo – a [matemáticas] \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) [/ math]

Y así. Vemos que después de [math] n [/ math] tales sustituciones tendremos:

[matemáticas] \ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) [/ math]

De donde se deduce que nuestro largo producto de cosenos se puede representar como:

[matemáticas] \ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} [/ math]

Pero ya sabemos cuál es el límite anterior, y por lo tanto:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ prod_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} [/ matemáticas]

Answer 12

Recordemos que la definición de límite establece que,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 \ iff \ forall \ varepsilon> 0 \; \ existe \ delta> 0 \; \ left (0 <| x-0 | <\ delta \ implica \ left | \ dfrac {\ sin x} {x} -1 \ right | <\ varepsilon \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] \ sen x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ matemáticas]

Si [math] x \ neq 0 [/ math], tenemos [math] \ dfrac {\ sin x} {x} = [/ math] [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n + 1)!} = 1 + [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ n \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n + 1)!} [/ math]

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] \ left | \ dfrac {\ sin x} {x} -1 \ right | = \ left | \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ n \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n + 1)!} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ leq \ left | \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n + 1)!} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ leq \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | \ dfrac {x ^ {2n}} {(2n + 1)!} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ leq \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} | x ^ {2n} | = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} | x ^ 2 | ^ n [/ math]

Si [matemática] 0 <| x | <1, [/ matemática] entonces [matemática] 0 <| x ^ 2 | <1 [/ matemática] y la serie infinita [matemática] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} | x ^ 2 | ^ n [/ math] converge a [math] \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2} [/ math]

Sea [math] \ varepsilon> 0 [/ math] un número arbitrario. Elija [math] \ delta = \ sqrt {\ dfrac {\ varepsilon} {1+ \ varepsilon}}. [/ Math]

Entonces [matemática] 0 <| x-0 | <\ delta [/ matemática] implica [matemática] 0 <| x | <[/ matemática] [matemática] \ sqrt {\ dfrac {\ varepsilon} {1+ \ varepsilon} } <1 [/ math] y por lo tanto [math] x ^ 2 <\ varepsilon- \ varepsilon x ^ 2 [/ math], lo que a su vez implica que [math] \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2 } <\ varepsilon. [/ math]

Así tenemos la siguiente implicación:

[matemáticas] 0 <| x-0 | <\ delta \ implica \ left | \ dfrac {\ sin x} {x} -1 \ right | <\ varepsilon. [/ math]

Por definición del límite, esto significa que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1. [/ Matemáticas]

Answer 13

Varias respuestas han usado la regla de d’Hopital. Eso está bien si ya sabes cómo demostrar que la derivada de sen x es cos x. Pero esa prueba generalmente se basa en el límite que se le pide que pruebe. Esto se puede probar geométricamente. Dibuja un círculo unitario y marca un ángulo x en el centro. Dibuje líneas para que una tenga longitud sin x y una, una línea tangente, tenga longitud tan x. El ángulo x es la longitud de un arco.

Según las longitudes, parece razonable que x

Entonces cos x

Answer 14

Para un punto en un círculo, [math] \ sin {x} [/ math] mide el desplazamiento perpendicular mientras que [math] x [/ math] mide el desplazamiento alrededor del círculo. A medida que [math] x [/ math] (y también [math] \ sin {x} [/ math]) se vuelve pequeño, el desplazamiento circular se vuelve más y más cercano a ser perpendicular, entonces [math] x [/ math] [matemáticas] \ sin {x} [/ matemáticas] cada vez más cerca en valor. En el límite como [math] x \ to 0 [/ math] el desplazamiento circular es efectivamente perpendicular, entonces [math] \ sin {x} \ to x [/ math], y por lo tanto [math] \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemática]. Entonces, la razón por la cual el límite es 1 es que los arcos circulares son perpendiculares a los diámetros del círculo en los puntos de la circunferencia donde los encuentran.

Nota: lo anterior ciertamente no es un argumento riguroso. El resultado puede demostrarse fácilmente, por ejemplo, utilizando la regla de l’Hopital. Pero la pregunta es “por qué” y no “probar eso”.

Answer 15

Mirando esta figura, tenemos dos triángulos y una sección de un círculo. El radio del círculo es 1. Y, todos comparten el mismo ángulo que tiene la medida x.

Las áreas son [matemáticas] \ frac 12 | \ sin x |, \ frac 12 | x |, \ frac 12 | \ tan x | [/ matemáticas]

Esperemos que esté claro que, cuando [matemáticas] – \ frac {\ pi} {2}

[matemáticas] \ frac 12 | \ sin x | \ le \ frac 12 | x | \ le \ frac 12 | \ tan x | [/matemáticas]

Y con un poco de álgebra.

[matemáticas] 1 \ le \ frac {x} {\ sin x} \ le \ sec x \\ 1 \ ge \ frac {\ sin x} {x} \ ge \ cos x [/ math]

Ahora miramos el límite cuando x va a 0.

[matemáticas] 1 \ ge \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} \ ge \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ cos x \\ 1 \ ge \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} \ ge 1 [/ math]

Y el límite que buscamos se exprime 1.

Answer 16

En realidad, depende de si x está en grados o radianes.

Para entender “por qué”, use su calculadora y produzca una tabla de la siguiente manera:

Answer 17

Lea la respuesta en esta página (Khan Academy)

Prueba: límite de (sin x) / x en x = 0

Answer 18

Primero convéncete de que cuando x es un número pequeño positivo (menor que pi / 2), entonces si imaginas una rebanada de pizza, parte de un círculo o pizza con radio 1 y tiene tres puntos. Uno es el centro de la pizza O, un punto está a lo largo del eje x siguiendo un borde recto de la pizza y podemos llamar a ese punto B y el tercer punto es A estando en el borde recto que no está a lo largo del eje X. Las líneas OA y OB son líneas rectas, mientras que AB es el borde curvo a lo largo de la porción de pizza. Ahora. Si coloca una línea recta desde A hasta el eje X, llegará a un nuevo punto C que divide la línea OB y ​​AC tendrá una longitud sin (x). Alternativamente, puede hacer una línea desde A tangente al círculo que golpeará el eje X en el punto D en algún lugar fuera del OB. Ahora. AD será tan (x), la línea curva AB tiene longitud xy AC es sin (x). Claramente, sin (x) sin (x) / x> cos (x). A medida que x va hacia cero cos (x) irá a 1 y entonces sin (x) / x se exprimirá entre esos dos, por lo que también debe tener un límite de 1. Entonces Lim x -> 0 [sin (x) / x ] = 1.

Answer 19

Cuando [math] x [/ math] está cerca de cero, entonces la longitud del arco es efectivamente la misma que la cantidad vertical. Es decir que [math] \ sin (x) \ aprox x [/ math] cuando [math] | x | [/ math] está cerca de cero. Si dividimos ambos lados entre [matemáticas] x [/ matemáticas] y luego tomamos el límite, obtenemos el límite solicitado.

Para ver por qué esto es cierto, podemos abordarlo de dos maneras diferentes.

Podemos usar la regla de L’Hopitals. Esto es que cuando tanto la parte superior como la inferior de una función racional se acercan a cero o al infinito en un límite, entonces el límite es el mismo que el límite de la relación de derivadas.

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x} = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ cos x} {1} = 1 [/ math]

Otra forma de mostrar esta relación es dividir [math] sin (x) [/ math] en sus piezas mediante una expansión de la serie Taylor centrada en cero. Esta expansión utiliza todas las derivadas en cero y todos los términos polinómicos que comienzan con una constante. La función seno es analítica, por lo que es igual a su expansión de la serie Taylor.

[matemáticas] \ sin (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} [\ frac {d ^ k} {dx ^ k} \ sin] (0) \ frac {x ^ k} {k! } [/matemáticas]

[matemáticas] = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… [/ matemáticas]

Y ahora

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x} = \ lim_ {x \ rightarrow 0} 1 – \ frac {x ^ 2} {3!} + \ frac {x ^ 4 } {5!} – \ frac {x ^ 6} {7!} +… = 1 [/ matemáticas]

Todos los términos que no sean el primero desaparecen.

Answer 20

¡Oh! Me encanta este problema porque mi solución emplea una de mis identidades favoritas.

Entonces, hay una identidad maravillosa que involucra [matemáticas] f \ left (x \ right) = \ frac {\ sin \ left (x \ right)} {x} [/ math]:

[matemática] \ frac {\ sin \ left (x \ right)} {x} = [/ math] [math] \ displaystyle [/ math] [math] \ prod _ {n = 1} ^ \ infty {\ cos \ left (\ frac {x} {2 ^ n} \ right)} [/ math]

Ahora, tenemos una manera súper fácil de calcular su límite. Estamos considerando el comportamiento de esta función cuando [math] x [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math]. Bueno, ahora hemos expresado [math] f \ left (x \ right) = \ frac {\ sin \ left (x \ right)} {x} [/ math] como un producto de cosenos, cada uno de los cuales tiende a [matemática] 1 [/ matemática] como [matemática] x [/ matemática] tiende a [matemática] 0 [/ matemática].

En otras palabras, ¡esencialmente tenemos multiplicar infinitamente [math] 1 [/ math] s, que es [math] 1 [/ math]!