No todos los matemáticos toman el mismo curso en la escuela (especialmente cuando consideramos matemáticos puros y aplicados, solo los considero puros). Hay algunos cursos estándar, pero la mayoría de los estudiantes de matemáticas toman mucho más que el estándar. Por supuesto, los matemáticos hacen mucho más que simplemente tomar cursos; La investigación es una parte esencial de cualquier programa de doctorado, por ejemplo.
Aquí hay algunos cursos bastante estándar. Los cursos con un asterisco al lado de su nombre son algo menos estándar. He tratado de mencionar algunos recursos para cada tema.
De licenciatura:
- Cálculo: cálculo de una sola variable, multivariante y vectorial. Usualmente toma tres semestres. Stewart es un texto de referencia estándar. Khan Academy y MIT OCW tienen videos.
- Ecuaciones diferenciales: cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Trench tiene un texto en línea en línea con la mayoría de los planes de estudio; Zill escribió un texto popular. Khan Academy y MIT OCW tienen videos.
- Álgebra lineal (primer curso): álgebra matricial y teoría del espacio vectorial. Lay es un buen texto, pero Strang es más popular. Khan Academy y MIT OCW tienen videos.
- Introducción a la prueba *: cómo hacer pruebas básicas.
- Análisis real (AKA Advanced Calculus): cálculo basado en pruebas (cómo demostrar rigurosamente los teoremas del cálculo), que a veces incluye material más avanzado sobre espacios métricos y similares. Los buenos textos incluyen Abbott (introducción suave), Fitzpatrick (no es su texto de posgrado), Rudin (buenas referencias, usa espacios métricos para lograr cierta generalidad) y Pugh. El profesor Su en Harvey Mudd tiene conferencias en línea, que probablemente siguen más de cerca a Pugh. Puedes encontrar otras conferencias en línea.
- Álgebra abstracta (también conocida como álgebra moderna): cubre la teoría de grupos elementales, la teoría de los anillos y la teoría de campos. Gallian escribió un buen texto. Herstein escribió una más fácil. Puedes encontrar video conferencias de Benedict Gross en Harvard enseñando en Artin.
- Análisis complejo *: generalmente tiene especialidades en matemáticas y ciencias, cubre análisis no rigurosos en el plano complejo, incluidas funciones complejas, límites, derivadas e integrales, generalmente a través del teorema de residuos. Zill tiene un buen texto. Análisis complejo visual es amado por muchos. James Cook tiene conferencias en YouTube. (Mucha gente solo toma un curso formal sobre esto en la escuela de posgrado).
- Topología *: generalmente sigue el texto de Munkres, cubriendo la topología de conjunto de puntos con una introducción al grupo fundamental y similares hacia el final. James Cook publicó sus conferencias en YouTube. (Parece que se está volviendo cada vez más común que los estudiantes elijan la topología de sus otros cursos, especialmente el análisis, por lo que creo que ahora menos personas están tomando un curso dedicado de topología para estudiantes universitarios).
También es común que los estudiantes de matemáticas tomen un curso o dos con probabilidad (Ross es un posible texto del curso, las conferencias de Harvard de Joe Blitzstein están en línea) o estadísticas (Hogg es un posible texto del curso). También podrían tomar un curso introductorio de informática / programación, similar al CS50 en Harvard (las conferencias están disponibles en línea). También es bastante común tomar algo de física (generalmente un curso de al menos un año, que abarca mecánica, electromagnetismo, ondas y algo de física moderna). Halliday, Resnick, Walker es mi texto favorito sobre el tema, además de ser un estándar de larga data; Las conferencias Feynman tienen algunas gemas. (Las famosas conferencias de Walter Lewin están en línea).
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Graduado :
- Álgebra: teoría de grupos, teoría de categorías, teoría de anillos, teoría de campos, álgebra conmutativa, teoría de Galois y teoría de la representación. Dummit y Foote, Hungerford, Lang y Rotman son estándares. (Lang es un poco difícil.) Aluffi también podría usarse para más tratamientos de categoría teórica. Mlbaker tiene videos en YouTube.
- Análisis: teoría de la medida, integración de Lebesgue, algunos análisis funcionales y análisis complejo riguroso. Papa Rudin proporcionó un tratamiento combinado sólido. Royden o Folland cubren el análisis real estándar. Ahlfors de Stein cubren el análisis complejo.
- Geometría *: topología algebraica (por ejemplo, Hatcher a través de la dualidad de Poincaré) y geometría diferencial (utilizando, por ejemplo, los manifiestos lisos de Lee). Wildberger tiene conferencias de un curso de topología algebraica en YouTube; Sin embargo, no estoy seguro de cuánto terreno cubre.
Además de los cursos especializados basados en el interés, hay muchos cursos de primaria que algunos estudiantes tomarán y otros no. Un ejemplo es la teoría de números (usando, por ejemplo, Rosen o Washington: James Cook y Mlbaker tienen conferencias de YouTube publicadas).
Editar: Esto no está exactamente en orden. Por ejemplo, creo que debería tomar un primer curso en álgebra lineal antes de tomar cálculos multivariados. (De hecho, creo que tomar álgebra lineal antes podría ser una buena idea. El cálculo se aproxima en parte a funciones complicadas mediante mapas lineales, y el álgebra lineal es el estudio de mapas lineales). Las ecuaciones diferenciales se pueden tomar en cualquier momento después del cálculo de variable única. La introducción a la prueba se puede cubrir en los tres cursos enumerados a continuación. El análisis real de pregrado, el álgebra, el análisis complejo y la topología se pueden tomar en cualquier orden, aunque el análisis real es probablemente el más fácil para comenzar y ayudará a comprender el análisis complejo y la topología. Los cursos de posgrado se pueden tomar en cualquier orden, aunque el análisis real generalmente se toma antes del análisis complejo.