¿La raíz cuadrada de un número positivo es positiva?

Answer 1

Si. Si dice ” la raíz cuadrada ” o escribe [matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas], se está refiriendo convencionalmente a la raíz cuadrada principal , que para un radicando positivo y [matemáticas] x [/ matemáticas] es lo positivo uno. (Para general [cero] x \ in \ mathbb C [/ math], es el que tiene [math] – \ tfrac \ pi2 <\ arg \ sqrt {x} \ le \ tfrac \ pi2 [/ math].) Entonces [math] \ sqrt4 = 2 [/ math].

Si dice ” una raíz cuadrada ” o ” raíces cuadradas “, está hablando explícitamente de una o ambas raíces [matemáticas] \ pm \ sqrt {x} [/ matemáticas] con signos opuestos.

Esto es solo una convención de notación, es como la diferencia entre “el presidente” y “un presidente”. La raíz no principal no es menos “válida” o “correcta” como una solución a [matemáticas] r ^ 2 = x [/ matemáticas]; de hecho, el hecho de que esas raíces vienen en pares (y más generalmente, que las raíces complejas [matemáticas] n [/ matemáticas] vienen en conjuntos de [matemáticas] n [/ matemáticas]) revela simetrías cruciales con profundas consecuencias en una variedad de campos matemáticos Sin embargo, es importante tener una convención para que todos comprendamos de qué estamos hablando, por lo que la convención anterior es la que usamos a menos que se especifique lo contrario.

Ver también Square Root en Wolfram MathWorld:

En el uso común, a menos que se especifique lo contrario, “la” raíz cuadrada generalmente se entiende como la raíz cuadrada principal.

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Se debe tener cuidado cuando se habla implícitamente de un conjunto de números como [math] \ pm \ sqrt x [/ math] como si fuera un número. Por ejemplo,

• al escribir [matemática] f (\ pm \ sqrt2) = 5 [/ matemática] probablemente quiere decir “ para todas [matemática] r [/ matemática] con [matemática] r ^ 2 = 2 [/ matemática], [matemática] f (r) = 5 [/ matemáticas] “,
• pero al escribir [matemáticas] f (5) = \ pm \ sqrt2 [/ matemáticas] probablemente quiere decir ” existe una [matemática] r [/ matemática] con [matemática] r ^ 2 = 2 [/ matemática] tal que [ matemáticas] f (5) = r [/ matemáticas] ”.

En casos simples, la distinción se puede inferir del contexto, pero se vuelve ambigua en casos más complicados sin aclaración. (¿[Math] f (\ pm \ sqrt2) = \ pm \ sqrt2 [/ math] significa [math] \ exist \ forall [/ math] o [math] \ forall \ exist [/ math]? ¡Son diferentes! ¿Qué pasa con [math] f (\ pm \ sqrt2) = g (\ pm \ sqrt2) [/ math]?) Suponiendo que [math] \ sqrt x [/ math] sea “multivalor” por defecto conduciría a Confusión.

Answer 2

Son ambos. Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas. Las raíces cuadradas de 25 son 5 y -5. Pero espera, estás diciendo. ¿No es [math] \ sqrt {25} = 5 [/ math]? Sí lo es. ¿Entonces qué está pasando?

Te han mentido. El símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] no significa raíz cuadrada. Significa “raíz cuadrada principal”, que es la raíz cuadrada positiva.

Answer 3

Raíz cuadrada de 25, ambos +5 y -5. Pero cuando cuando símbolo de raíz cuadrada la respuesta es +5 porque el símbolo se llama RADICAL , y decimos que +5 es raíz cuadrada cuando se usa ese símbolo.

Answer 4

La raíz cuadrada principal de un número real no negativo [matemática] a [/ matemática] se define como el número [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] x ^ 2 = a [/ matemática] y [matemática ] x \ ge 0 [/ math].

Hay una distinción entre la raíz cuadrada de un número (implícitamente la raíz cuadrada principal) y el conjunto de números que satisfacen la ecuación [matemática] x ^ 2 = a [/ matemática]. El primero, como he mencionado, es, por definición, el número positivo que satisface la ecuación, pero el último conjunto incluye [math] x \ ge 0 [/ math] y [math] -x \ le 0 [/ math] , porque ambos satisfacen la ecuación.

Entonces la raíz cuadrada de 16 es de hecho solo 4, pero tanto 4 como -4 satisfacen [matemáticas] x ^ 2 = 16 [/ matemáticas].

EDITAR: Se corrigieron los signos mayor y menor que para ser consistentes con tomar la raíz cuadrada de [matemáticas] a [/ matemáticas] en el caso de que [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] (en cuyo caso ambas soluciones [matemáticas] x [/ math] de [math] x ^ 2 = a = 0 [/ math] coinciden).

Answer 5

La pregunta en sí misma pregunta por la investigación fundamental sobre los números negativos y sus implicaciones y cuándo se multiplican. ¿Cómo puede resultar positivo o debería ser negativo en sí mismo?
¿Existen números negativos? Su uso, efecto …

Todo sigue su curso en la evolución.
A medida que el uso de números negativos comenzó a llegar a la solución de la ecuación, los primeros matemáticos finalizaron el uso de números negativos y cómo se usarían dentro de las matemáticas.

Aquí viene el uso de raíces cuadradas negativas y hay validez?

Dos de los matemáticos más destacados, Johann Carl Friedrich Gauss y Georg Friedrich Bernhard Riemann, finalizaron las teorías de las teorías negativas de raíz cuadrada.
Puede leer sobre ellos si lo desea para obtener más ayuda.

Answer 6

Esto puede ser confuso a veces. Uno de mis profesores me dio una buena interpretación. Si te digo que [matemática] x ^ 2 = 25 [/ matemática], entonces [matemática] x [/ matemática] puede ser [matemática] – \ sqrt {25} [/ matemática] o [matemática] + \ sqrt { 25} [/ matemáticas]. Pero el valor de [math] \ sqrt {25} = 5 [/ math] por definición. Espero que haya ayudado. Salud.

Answer 7

Generalmente cuando alguien dice ‘raíz cuadrada’ sin un calificador, significa la raíz cuadrada positiva. Sin embargo, si [matemática] x [/ matemática] es la raíz cuadrada de [matemática] a [/ matemática], entonces [matemática] (- x) ^ 2 = a [/ matemática] también, entonces hay un cuadrado negativo raíz.

En general, un número [matemático] x [/ matemático] tiene [matemático] n [/ matemático] [matemático] n [/ matemático] raíces, si permite que las raíces sean complejas. Si [matemática] r [/ matemática] es una raíz [matemática] n [/ matemática] de [matemática] x [/ matemática], entonces la raíz [matemática] n [/ matemática] de [matemática] x [/ math] son ​​[math] re ^ {\ frac {2 \ pi k} {n}} [/ math], donde [math] k [/ math] es un número entero que va de [math] 0 [/ math] a [matemáticas] n-1 [/ matemáticas].

Answer 8

Para su pregunta,

¿Cuál es la raíz cuadrada de 4?
a) 2 o -2,
b) 2.

La respuesta es a) porque hay dos raíces cuadradas de un número positivo, no una.

Hay una notación estándar con un signo radical que se usa para distinguir entre las dos raíces cuadradas de un número positivo como 4. Siempre se refiere a la raíz cuadrada positiva. Por lo tanto, [math] \ sqrt4 = 2. [/ math] Si desea hacer referencia a la raíz cuadrada negativa, debe incluir explícitamente el signo negativo: [math] – \ sqrt4 = -2. [/ Math]

Answer 9

La respuesta a) es correcta.

DOS NOTAS

I. En el campo de complejidad [math] \ mathbb {C}, [/ math] podemos calcular las raíces unitarias de los números de complejidad, y usualmente usamos un símbolo [math] \ sqrt {\ hspace {10pt}} [/ math ] para representarlo. La raíz [matemática] n [/ matemática] de un número completo se define como sus raíces unitarias.

Entonces tenemos

[matemáticas] (± 2) ^ {2} = 4 \ Leftrightarrow \ sqrt {4} = – 2,2. [/ matemáticas]

II En el campo real [math] \ mathbb {R} [/ math], el símbolo [math] \ sqrt {\ hspace {10pt}} [/ math] representa la raíz cuadrada aritmética de un número real, la definición de cuadrado aritmético la raíz es

[matemáticas] {x ^ {2} = a} \ Leftrightarrow {\ sqrt {a} = x}, \ forall x≥0, a≥0. [/ math]

Por ejemplo,

[matemáticas] {2 ^ {2} = 4} \ Leftrightarrow {\ sqrt {4} = 2}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] {2 ^ {2} = 4} \ Leftrightarrow [/ math] El cuadrado de 4 son [math] \ sqrt {4} [/ math] y [math] – \ sqrt {4} [/ math ], eso es 2 y -2.

Answer 10

Varias respuestas señalaron que 25 tiene dos raíces cuadradas, -5 y 5, y 5 resulta ser la raíz cuadrada principal. Esta respuesta es 100% correcta.

Sin embargo, hay un punto más que creo que vale la pena mencionar. Si está familiarizado con la fórmula cuadrática y los números complejos, es posible que haya notado que las raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes racionales (es decir, fraccionarios) siempre tienen la forma:

[matemáticas] \ alpha \ pm \ beta \ sqrt {\ gamma} [/ matemáticas]

donde [math] \ alpha [/ math], [math] \ beta [/ math] y [math] \ gamma [/ math] son ​​números racionales. En realidad, hay una razón muy, muy profunda para esto.

Tomando [math] \ sqrt {2} [/ math] como ejemplo, no es un número racional. Entonces, desde el punto de vista de los números racionales, hay un sentido técnico en el que no hay forma de diferenciar entre [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ sqrt {2} [ /matemáticas]!

Podría pensar que podría compararlos con cero para ver qué raíz cuadrada es menor que cero y cuál es mayor que cero. Esto es cierto, y por eso es un sentido técnico. Si solo permite pruebas de igualdad, no menos que pruebas, entonces literalmente no hay forma de saberlo.

Si eso parece una restricción artificial, es un poco más claro cuando se llega a números complejos, donde no hay menos que una prueba. Desde el punto de vista de los números reales, no hay forma de diferenciar entre [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas].

Esta es una simetría del sistema, y ​​es por eso que las raíces de las cuadráticas siempre deben tomar esa forma: deben ser simétricas en qué raíz cuadrada se elige.

Answer 11

Está. Aunque a veces las personas solo se refieren a la raíz cuadrada positiva cuando dicen la raíz cuadrada, esto también se conoce como la raíz cuadrada principal. Cuando vemos el signo de la raíz cuadrada normal, por ejemplo. [math] \ sqrt {25} [/ math] se refiere a la raíz cuadrada principal o positiva. Para denotar una raíz cuadrada negativa o positiva y negativa, un signo + y o – se colocan uno encima del otro antes del signo de raíz cuadrada. Un ejemplo de esto en una fórmula es la fórmula cuadrática. Donde se toma la raíz cuadrada positiva y negativa de [math] b ^ 2-4ac [/ math].

Answer 12

Descargo de responsabilidad: como no estoy seguro de sus antecedentes, he definido la función de raíz cuadrada como se hace en el análisis complejo. Creo que esto es inevitable si quieres tener una comprensión profunda en lugar de superficial de lo que está sucediendo. Como no hay ninguna razón por la que sepamos a priori que [matemáticas] \ sqrt {25} = 5 [/ matemáticas], una respuesta “solo porque” lo saca de una educación sobre un problema interesante en matemáticas.

La raíz cuadrada de 25 es técnicamente ambas. Por lo general, tomamos la raíz cuadrada “principal” y obtenemos 5.

Sin embargo, la función de raíz cuadrada tiene varios valores y el valor que resulta de la salida depende de la rama que tomemos. Definimos [math] z ^ {1/2} = \ exp (\ log (z) / 2) [/ math], donde [math] \ log (z) – [\ log (| z |) + \ arg (z) i] \ in \; 2 \ pi \ mathbb {Z} [/ math]. Si dejamos que [math] \ log (z) = \ log (| z |) + \ arg (z) i [/ math], entonces [math] 25 ^ {1/2} = \ exp (\ log (25 ) / 2) = \ exp (\ log (5)) = 5 [/ math]. Sin embargo, si dejamos que [math] \ log (z) = \ log (| z |) + \ arg (z) i + 2 \ pi i [/ math], entonces [math] 25 ^ {1/2} = \ exp (\ log (5) + \ pi i) = -5 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que si tomamos cualquier otra rama de [math] \ log [/ math] obtenemos 5 o -5 y, por lo tanto, solo hay dos raíces cuadradas de 25. De hecho, esto es cierto para todos los números complejos (excepto 0).

También se podría pensar en términos de superficies de Riemann y el hecho de que la función se define en dos hojas complejas pegadas a lo largo de cortes en el eje real positivo. Pero esto puede ser innecesariamente complicado para nuestros propósitos aquí. Si está interesado, lea una exposición en un libro sobre análisis complejo. Ahlfors, en particular, hace un buen trabajo.

Answer 13

La respuesta aparece como 4 y -4 porque cuando cuadras cualquiera de esos números, el resultado es 16. 4 * 4 = 16 y (-4) * (- 4) = 16. Si bien incluso las raíces no pueden tener respuestas negativas normalmente si esa es la única disponible, muchas veces hay que tener en cuenta la raíz negativa posible a efectos de la representación gráfica. Ahora, para responder a su edición a la pregunta: eso depende totalmente de quien enseñe su clase. Algunos instructores / maestros requieren ambas respuestas, o dependiendo de si está utilizando negativos o no, es posible que solo requieran el valor positivo.

Answer 14

Por lo general, se define como positivo. La raíz cuadrada de 16 es 4, no -4. La ecuación [matemáticas] x ^ 2-16 = 0 [/ matemáticas] tiene dos soluciones, y la no negativa se llama raíz cuadrada.

Answer 15

las otras respuestas son correctas y no quiero agregar una respuesta repetida. pero el signo √ por sí solo generalmente significa el número positivo que en este caso es 5. Si se escribe como ± √, ambos son aceptables. En matemáticas simples (matemáticas escolares), el símbolo significa la raíz positiva.
Esto puede interesarle.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lis …

Answer 16

Me encontré con este hilo y me sorprendió ver ni una sola respuesta simple y lógica. Aquellos que todavía se rascan la cabeza preguntándose por qué sqrt (x ^ 2) siempre es un número positivo, lea la publicación completa. No es solo una convención aleatoria, de hecho, ¡hay una explicación muy simple y lógica de por qué es así! Entonces, en lugar de simplemente memorizar esa “fórmula” sqrt (x ^ 2) = | x |, intente comprender el razonamiento detrás de esto, ¡entonces lo recordará siempre!

Consideremos nuestra función de raíz cuadrada f (x) = sqrt (x) y para un ejemplo específico consideraremos f (16) = sqrt (16)

Entonces, ¿qué estamos buscando? La palabra clave en la oración anterior es “función”. Repasemos rápidamente los detalles de las funciones. Como todos sabemos, si le das una “entrada” a una función, solo puede darte una salida. Entonces, sea cual sea el valor que conectemos para x, el valor que se encuentra debajo del signo de raíz cuadrada, estamos buscando su salida. Entonces, ¿cuál es el resultado de esta función? Reflexione sobre esta pregunta por un momento y verá dónde suele surgir la confusión. El estudiante típico ve f (x) = sqrt (16) y piensa “¡Esto me dice que encuentre los números para que cuando los cuadre me dé 16! ¡Oh, está bien, 4 y -4 hacen eso!” Si bien es cierto que tanto 4 como -4 al cuadrado nos dan 16 (estas se llaman raíces de 16), el problema es que no es lo que pide la función f (x) = sqrt (x). Recuerde: para una función, una entrada significa una sola salida. Debido a esto, la salida para la función de raíz cuadrada se define como la raíz principal, o la “raíz positiva”. Si obtuvimos todas las raíces (4, -4) para esa entrada (16) ya no se consideraría una función, por lo que tenemos que “elegir” una para definir la función de raíz cuadrada, y la selección más simple y obvia es la raíz principal, o raíz positiva.

Answer 17

Está. Sin embargo, en la mayoría de los libros de texto de matemáticas, la raíz cuadrada a la que se refieren es la raíz cuadrada positiva. Si necesita especificar, como en las pruebas o los cuadros, coloque el signo más menos delante del símbolo sqrt.

Answer 18

Tu pregunta no tiene sentido. x ^ 2 = 4 es una ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación de forma ax ^ 2 + bx + c = 0, donde a, byc son constantes y x es la variable. Entonces, la ecuación x ^ 2 = 4 es una ecuación cuadrática con a = 1, b = 0 y c = -4. Puede; t simplemente afirmar que x ^ 2 = 4 no es cuadrático. La matemática para x ^ 2 = 4 es la misma que la matemática para cualquier ecuación cuadrática.

Cada ecuación cuadrática tiene 2 soluciones. Si toma una ecuación cuadrática y la grafica con el valor de la ecuación cuadrática en el eje Y y el valor de X en el eje X, se intersecará con el eje X en 2 puntos. Esos 2 puntos son las soluciones de la ecuación cuadrática.

Uno simplemente no traza la ecuación cuadrática en una recta numérica, porque las ecuaciones cuadráticas son cosas bidimensionales. Para visualizar ecuaciones cuadráticas, debe mirarlas en 2 dimensiones. Si está mirando solo la recta numérica, se está perdiendo el punto de las ecuaciones cuadráticas

Answer 19

Depende

En general, una raíz cuadrada de un número real positivo dará dos respuestas, a y -a.

Entonces la respuesta a su pregunta es que tendrá 1 raíz positiva y una raíz negativa.

Sin embargo, a menudo es útil definir una raíz cuadrada como la raíz positiva, por lo que solo obtendrá una respuesta que siempre será positiva.

Ambas definiciones son totalmente válidas y son útiles en contexto. Entonces, la respuesta a su pregunta es, básicamente, depende de cómo está definiendo la raíz cuadrada.

Answer 20

La raíz cuadrada de un número positivo puede ser negativa o positiva, no se puede raíz cuadrada de un número negativo (bueno, se puede, pero se obtiene i, que significa número imaginario)