¿Por qué aparece la raíz cuadrada de cinco en la proporción áurea?

Answer 1

Aquí hay un cálculo de la proporción áurea que incorpora la diagonal del rectángulo con las longitudes laterales 1 y 2.

Comience desde un rectángulo [matemático] ABCD [/ matemático] con lados de longitud 1 y [matemático] x> 1 [/ matemático], como en la figura. Extienda la diagonal [matemática] BD [/ matemática] en 1 para construir el segmento de línea [matemática] BE [/ matemática] como en la figura. Construya un rectángulo en el segmento [matemática] BE [/ matemática] con un segundo lado de longitud 2.

(Imagen dibujada a escala cuando [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]).

Reclamación: Rectángulo [matemática] BEFG [/ matemática] es dorada si y solo si [matemática] x = 2 [/ matemática].

De hecho, [math] BEFG [/ math] es dorado si y solo si

[matemáticas] \ frac {| BG |} {| HG |} = \ frac {| EB |} {| EF |} [/ matemáticas].

Según el teorema de Pitágoras, esto es equivalente a

[matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {1 + x ^ 2} -1} = \ frac {\ sqrt {1 + x ^ 2} +1} {2} [/ matemáticas].

La multiplicación cruzada y la simplificación dan [matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas], por lo que el rectángulo [matemáticas] BEFG [/ matemáticas] es dorado si y solo si [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que ahora puede calcular la proporción áurea configurando [math] x = 2 [/ math] y calculando

[matemática] \ frac {| EB |} {| EF |} = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemática].

---

¿Qué hemos mostrado? Existe esta construcción que comienza desde un rectángulo arbitrario (la hipótesis de la longitud del lado 1 no es realmente necesaria) y produce un nuevo rectángulo. Este nuevo rectángulo es un rectángulo dorado si y solo si el rectángulo desde el que comenzamos tenía longitudes laterales con una relación de 2: 1.

Answer 2

Está buscando una explicación de la proporción áurea derivada del teorema de Pitágoras. No es así como tropezamos con la proporción áurea, aunque ciertamente puede usarla como uno de los lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo con los lados 1, sqrt (x), x, será un triángulo rectángulo si x es la proporción áurea. Pero esto comienza a partir de una definición conocida de la proporción áurea usándola arbitrariamente para crear un triángulo (sin cualidades notables). Queremos comenzar con una figura geométrica familiar y derivar la proporción áurea.

El lugar más fácil para encontrar la proporción áurea es en el pentágono. Si tiene un pentágono regular con lados de longitud 1, entonces un acorde que conecta dos vértices no adyacentes tendrá longitud (1 + sqrt (5)) / 2.

Esto se puede derivar dibujando dos acordes de este tipo desde un solo vértice a los dos vértices del borde opuesto, que divide el pentágono en triángulos dorados. Dos triángulos isósceles obtusos con lados 1,1, x, y un triángulo isósceles agudo con lados 1, x, x.

Luego calculamos que los ángulos interiores del pentágono son 108 grados, por lo que podemos encontrar los ángulos de los triángulos como (36,36,108) y (36,72,72) respectivamente.

Para el triángulo agudo, podemos dibujar una línea desde uno de los ángulos de 72 grados perpendiculares al lado opuesto, y observar que los ángulos de los triángulos rectángulos creados son (36,54,90) y (18,72,90). Tenga en cuenta que 18 es 1/2 de 36, por lo que si reflejamos este triángulo rectángulo a través de la línea que dibujamos, y junto con su reflejo, obtenemos un triángulo que es similar al triángulo agudo original, por lo que sus lados deben ser 1, 1,1 / x. También podemos ver que lo que queda del triángulo agudo original después de restar el triángulo 1,1,1 / x es otro 1,1, triángulo x, entonces obtenemos
x = 1 + 1 / x.

Esto se puede escribir …

x ^ 2 – x – 1 = 0

usando la ecuación cuadrática obtenemos las raíces

(1 + sqrt (5)) / 2 y (1-sqrt (5)) / 2 que son recíprocos entre sí.

x> 1, entonces x debe ser la raíz más grande y 1 / x es la raíz más pequeña.

Perdón por no usar Latex y dibujar diagramas.
Quizás edite mi respuesta más tarde.