Hmm
¡Esta pregunta seguramente es una pregunta muy desafiante!
Me encanta responder preguntas desafiantes. Entonces, intentaré con este.
La función de raíz cuadrada, ¿eh? Nunca lo oí. Probablemente no esté en mi calculadora .
Entonces, ¿cómo haríamos para calcular la “raíz cuadrada” de veinte? Bueno, después de hacer una investigación intensa, descubrí que [matemáticas] \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]. Esa será información útil más adelante.
En primer lugar, representaré la función de raíz cuadrada con su serie Taylor. Luego, conectaré veinte a esa función y ¡BOOM tenemos una solución! Calcularé esta serie de Taylor alrededor de [matemáticas] 16 [/ matemáticas], solo para estar seguro.
La definición de la serie Taylor de una función [matemática] f \ left (x \ right) [/ math] está representada por:
[matemáticas] f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac {\ left ( xa \ right) ^ n} {n!} [/ math]
Aquí, [math] f ^ {\ left (n \ right)} [/ math] denota la derivada [math] n [/ math] th de [math] f [/ math]. Tendremos que calcular muchos derivados y, con suerte, habrá un patrón fácilmente perceptible.
[math] f \ left (x \ right) [/ math] en adelante denotará [math] \ sqrt {x} [/ math].
La derivada “zeroth” de [math] f [/ math] es simplemente [math] f [/ math]. Tendré [math] f \ left (16 \ right) [/ math] como el coeficiente del primer término de la serie. (Recuerde, decidí centrar la serie Taylor en torno a [matemáticas] 16 [/ matemáticas] . La raíz cuadrada de [matemáticas] 16 [/ matemáticas] es bastante fácil: son solo [matemáticas] 4 [/ matemáticas] . Cuatro cuatro son dieciséis.)
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots [/ math]
Bueno. Las cosas se volverán más difíciles (al menos para ti). Ahora tenemos que calcular la derivada de [math] \ sqrt {x} [/ math].
La regla de poder implica que [matemáticas] \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ {n-1} [/ matemáticas]. En este caso, [matemáticas] n = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] (dado que [matemáticas] \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]) .
Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math]. El siguiente coeficiente de la serie será [matemática] \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} [/ matemática] o simplemente [matemática] \ frac {1} {8} [/ matemática].
Por lo tanto, el próximo término en la serie Taylor será [matemática] f ‘\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} [/ Math] o simplemente [math] \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} [/ math].
Aquí está la suma hasta ahora:
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ cdots [/ math]
Bueno. Ahora tenemos que calcular la segunda derivada de [math] f \ left (x \ right) [/ math], o simplemente calcular la derivada de [math] \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math ]
Esto requerirá el uso de la regla de la cadena, porque tenemos una función dentro de otra. En adelante, una función se indicará con [math] g \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} [/ math], y la otra se designará en adelante con [math] h \ left (x \ right ) = 2 \ sqrt {x} [/ math]. La función de la que queremos encontrar la derivada es: [matemática] f ‘\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math]. En otras palabras, queremos encontrar la derivada de [matemáticas] g \ left (h \ left (x \ right) \ right) [/ math].
La regla de la cadena implica que [matemáticas] \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g ‘\ left (h \ left ( x \ right) \ right) h ‘\ left (x \ right) [/ math]. (Esto es cierto para todas las funciones [matemáticas] g [/ matemáticas] y [matemáticas] h [/ matemáticas]).
La derivada de [math] g \ left (x \ right) [/ math] es [math] – \ frac {1} {x ^ 2} [/ math] (por la Regla de poder). La derivada de [math] h \ left (x \ right) [/ math] es [math] \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ math] (de acuerdo con la Regla de poder y la propiedad que implica [ matemática] \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ‘= cf’ \ left (x \ right) [/ math] ) .
Ahora tenemos que [matemáticas] \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} [/ math]. Por lo tanto, el tercer coeficiente de la serie es [matemáticas] – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} [/ math] (o más simplemente [matemáticas] – \ frac {1 } {256} [/ matemáticas]).
El tercer término de la serie es: [matemáticas] – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!} [/ Matemáticas]
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots [/ math]
Ahora pasaré a calcular la cuarta derivada de [math] f \ left (x \ right) [/ math].
[matemáticas] \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
El cuarto término en la secuencia será [matemáticas] \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} [/ Math]
La suma ahora tiene cuatro términos:
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ frac {3} {8192} \ frac { \ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} + \ cdots [/ math]
Si continuamos con este patrón, obtendremos el siguiente patrón de coeficientes:
[matemáticas] \ frac {1} {0.25}, \ frac {1} {8}, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots [/ math]
Ahora es el momento de encontrar un patrón.
El denominador [math] n [/ math] th puede representarse con [math] b_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) [/ math] que se simplifica a [matemáticas] b_n = 2 ^ {5n-2} [/ matemáticas] (con el valor inicial de [matemáticas] n [/ matemáticas] como [matemáticas] 0 [/ matemáticas] ) . Eso fue fácil. ¿Qué hay de los numeradores?
(Ignorando la alternancia por ahora) Aquí está la serie de numeradores:
[matemáticas] 1,1,1,3,15,105,945, \ cdots [/ matemáticas]
…
Hmm …
…
El patrón de los numeradores es bastante simple. Tome [math] 945 [/ math] y divídalo por [math] 105 [/ math]. Obtienes [matemáticas] 9 [/ matemáticas]. A continuación, tome [matemáticas] 105 [/ matemáticas] y divida eso entre [matemáticas] 15 [/ matemáticas]. Obtienes [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] 15 [/ matemática] dividida por [matemática] 3 [/ matemática] es [matemática] 5 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática] dividida por [matemática] 1 [/ matemática] es [ matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] dividida por [matemática] 1 [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática]. Los productos de números impares están involucrados aquí.
El término [matemática] \ izquierda (n + 2 \ derecha) [/ matemática] en la secuencia de numeradores (excluyendo la alternancia) puede determinarse por:
[matemáticas] t_n = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) [/ math]
La fórmula para los numeradores está en forma de notación pi. Sería mejor si tiene la función factorial. Por qué no?
Si dividimos el producto de los primeros enteros [matemáticos] 2n + 2 [/ matemáticos] por el producto de los enteros pares de [matemáticos] 2 [/ matemáticos] a [matemáticos] 2n [/ matemáticos], obtendremos el producto de los enteros impares de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 2n + 1 [/ matemática]. En otras palabras,
[matemáticas] t_n = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k} [/ matemáticas]
Ahora podemos quitar la notación pi. Como puede ver, la [matemática] 2 [/ matemática] en el término se multiplica por sí misma [matemática] n + 1 [/ matemática] veces. Entonces, podemos extraer [math] 2 [/ math], colocarlo frente a la capital pi, y luego elevar [math] 2 [/ math] a la potencia de [math] n + 1 [/ math ]
Eso nos deja con:
[matemáticas] t_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod_ {k = 1} ^ {n + 1} k} [/ math]
La ecuación anterior se puede escribir más simplemente como:
[matemáticas] t_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!} [/ math]
Es posible que ya haya notado que la serie dada por la expresión directamente arriba está desactivada por dos términos. Meh Todo lo que tenemos que hacer para arreglar eso es tomar la fórmula para el denominador y alinearla con la fórmula del numerador. Para solucionar este problema, todo lo que tenemos que hacer es encontrar todo [math] n [/ math] en la fórmula del denominador y sumarlos por [math] 2 [/ math]. Nota: También tendremos que hacer lo mismo con el resto de cada término que tenga un poder de [matemáticas] x [/ matemáticas].
La fórmula del denominador es ahora [matemáticas] 2 ^ {5n + 8} [/ matemáticas]. Ahí.
Como cambiamos la serie, todavía tenemos que incluir los que fueron excluidos, en algún lugar de la expresión. Habrá otros términos que aparecerán antes de la notación sigma en la expresión. (Estos términos son [matemática] 4 [/ matemática] y [matemática] \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right) [/ math].)
El coeficiente de cada término en la serie será:
[matemáticas] c_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8} }[/matemáticas]
que se simplifica a:
[matemáticas] c_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} [/ math]
Auge. Esa es la fórmula para el coeficiente [matemático] n [/ matemático] de la serie (esto excluyó los dos primeros términos porque esos términos no son rangos de la fórmula para [matemático] t_n [/ matemático]).
Ahora podemos comenzar a escribir la notación sigma (recuerde, cambiamos la serie para eliminar los indefinidos (o debería decir términos “extraños”), por lo que habrá algunas cosas al frente de la notación sigma).
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right) [/ math]
[matemáticas] – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ derecha) ^ 3} {3!} – \ cdots [/ math]
Es una serie alterna que comienza con un negativo, por lo que tendremos que multiplicar los términos por la potencia [matemática] (n + 1) [/ matemática] de [matemática] -1 [/ matemática].
[matemáticas] f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x -16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!} [/ Math]
Limpiado:
[matemáticas] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x -16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)! }[/matemáticas]
¡DECIR AH!
Ahora tenemos la serie Taylor para esta función llamada “raíz cuadrada”, cuya función definitivamente no es una cosa en las calculadoras. Ahora, todo lo que queda por hacer es calcular la raíz cuadrada de veinte usando su Serie Taylor.
[matemáticas] f \ left (21 \ right) = 2 + \ frac {20} {8} + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!} [/ math]
Simplificación:
[matemáticas] f \ left (21 \ right) = \ sqrt {21} = 4.5 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {4 ^ {n + 1} \ left (-1 \ derecha) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!} [/ math]
Acabo de escribir la expresión anterior en Desmos y reemplacé [math] \ infty [/ math] con [math] 15 [/ math]. Desmos dijo que el resultado es aproximadamente [matemáticas] 4.472135955 [/ matemáticas].
Ahí está tu respuesta. La raíz cuadrada de veinte es aproximadamente [matemáticas] 4.472135955 [/ matemáticas].
* Unos momentos después *
OH ESPERA.
¡Podría haber usado una calculadora ! ¡Supongo que tienen la función de raíz cuadrada! ¡Que estúpido de mi parte! ¿¡Derecho!?
¡También podríamos verificar nuestra respuesta!
[matemáticas] 4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4.472135955 \ stackrel {\ marca de verificación} {=} 4.472135955 [/ matemáticas]
¡Gracias y espero que esto ayude!
¡No hagas preguntas estúpidas!
Finalmente, obtendríamos: 