¿Hay raíces cuadradas de números negativos?

Answer 1

Sí, las raíces cuadradas de los números negativos son tu próximo paso a través del espejo.

La historia de las matemáticas es la historia de dar respuestas a cosas que no tienen respuesta. Tengo un montón de rocas Puedo contarlos. Asociado mi pila con un número natural, solo una cadena de trazos. Puedo definir la suma. Puedo definir notación como números romanos o números arábigos.

La suma tiene un inverso que a menudo puede ayudarnos a resolver problemas como este, pero ¿cuál es la solución para [matemáticas] x + 1 = 1? [/ Matemáticas] No sé, dejemos que transcurra un milenio y llamémoslo [matemáticas] 0 [/matemáticas]. ¿Cuál es la solución para [matemáticas] x + 1 = 0? [/ Matemáticas] Espere un momento y llame a eso [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Podemos definir la multiplicación, y eso a veces tiene un inverso. Pero, ¿cuál es la respuesta a [matemáticas] 2 x = 1? [/ Matemáticas] Vamos a rascarnos la cabeza por un tiempo y luego llamarlo [matemáticas] \ frac 1 2 [/ matemáticas]. Pero, ¿cuál es la solución para [matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas]? No es una relación, llamémosla [math] \ sqrt {2} [/ math]. [math] – \ sqrt {2} [/ math] también es una solución. Pero, ¿cuál es la respuesta a [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]? Aquí estamos.

Puede levantar las manos en [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas] o esperar otros mil años o simplemente superarlo y llamar a la solución [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemática], donde [matemática] i = \ sqrt {-1} [/ matemática]. Todavía le tomará unos cientos de años entender la idea de que hay una operación que es “media negación”, una operación (multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas]) que cuando se aplica dos veces el resultado es el mismo como negación Pero entonces tienes la idea de que la negación es un turno de [matemáticas] 180 ^ \ circ [/ matemáticas], así que, por supuesto, solo son dos turnos de [matemáticas] 90 ^ \ circ [/ matemáticas].

En cada paso de mi tonta historia de las matemáticas, no solo agregas nuevos números a la mezcla. En realidad, está definiendo un nuevo tipo de número en cada paso en términos de sus tipos anteriores y sus operaciones asociadas. Debe establecer al menos las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas de los números naturales, y luego usarlas para verificar las propiedades análogas de los enteros, y luego los racionales. No es difícil y vale la pena hacerlo.

Un número racional es un par de enteros con algunas reglas. No hay cero denominadores permitidos. Hay una regla para la suma y una regla para la multiplicación, una para la igualdad y otra para el orden. Todos estos son en términos de operaciones en enteros. Por ejemplo, [math] \ frac ab + \ frac cd = \ frac {ad + bc} {bd}. [/ Math] Es importante, [math] \ frac ab = \ frac cd [/ math] cuando [math] ad = bc. [/ matemáticas]

He eludido los reales en mi falsa historia. Realmente no los necesita para llegar a [math] \ sqrt {-1}. [/ Math] Puede llegar bastante lejos con números complejos con partes racionales. Pero voy a despejar aquí como la mayoría de los demás y simplemente asumiré que los reales existen.

Una vez que tenga [math] i = \ sqrt {-1} [/ math], los números imaginarios son los múltiplos distintos de cero de [math] i [/ math], [math] bi [/ math] para real [math ] b \ ne 0 [/ matemáticas]. Puede agregar números imaginarios a números reales y obtener números complejos [matemática] z = a + bi [/ matemática], [matemática] a, b [/ matemática] real. Por lo tanto, es natural pensar en un número complejo como coordenadas cartesianas de un punto [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] en el plano complejo.

Luego llegas a la fórmula de Euler, que identifica el coseno y el seno como las coordenadas rectangulares de puntos en el círculo unitario que corresponden a las coordenadas polares del círculo unitario dado al tratar el ángulo como un exponente imaginario. [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta. [/ matemáticas]

Answer 2

No hay raíces cuadradas reales de números negativos, pero hay algunas imaginarias .

Una raíz cuadrada de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo da el número original. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4 porque 4 × 4 = 16. Hay otra respuesta, -4 como un negativo multiplicado por sí mismo es positivo. -4x-4 = 16

No hay raíces cuadradas reales de un número negativo porque no puede multiplicar ningún número real por sí mismo y obtener un número negativo.

Si imaginamos que un número negativo tiene una raíz cuadrada, podemos hacer algunas matemáticas interesantes. i es el carácter que usamos con mayor frecuencia para referirnos a la raíz cuadrada de -1, entonces i x i = -1. Todas las cosas que podemos hacer con los números reales también podemos hacerlo con números imaginarios .

Answer 3

Depende. Si limita la respuesta a los “Números reales”, los números negativos no tienen raíces cuadradas. Pero si se expande a los “Números complejos”, los números negativos tienen raíces cuadradas. La raíz cuadrada de -1 se define como “i”. Entonces, la raíz cuadrada de -16 es la misma que la raíz cuadrada de -1 × la raíz cuadrada de 16. Eso significa que en los números complejos la raíz cuadrada de -16 = 4 × I o 4i.

Answer 4

No, no puede ser ningún número real. Por ejemplo, muchas personas podrían decir que la raíz cuadrada de -16 es -4, esto es falso porque -4 * -4 es en realidad 16, no -16. Además, 4 * 4 es 16 también, no -16. no puede ser 4 y -4, ya que son números negativos. La regla de los estados de multiplicación negativo por negativo es positivo, positivo por positivo también es positivo. Como resultado, no hay forma en matemáticas para que la raíz cuadrada de -16 sea un número real, lo que significa que la respuesta no está identificada.

Answer 5

No tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, dado que los números complejos están cerrados algebraicamente, existen (2 de hecho) raíces cuadradas complejas de números reales negativos.