En pocas palabras, no: los números complejos están “algebraicamente cerrados”, lo que significa que para cualquier ecuación que use solo números complejos y suma, resta y multiplicación, si esa ecuación tiene una solución en cualquier espacio de números en cualquier lugar, entonces esa solución es compleja número. Por lo tanto, ya no necesita expandir los números complejos para obtener soluciones a las ecuaciones [polinomiales].
Sin embargo, hay un par de sentidos en los que la respuesta a su pregunta es “sí”. El primer sentido es: de la misma manera que [math] \ pi [/ math] es trascendental sobre los racionales (no resuelve ninguna ecuación no trivial con coeficientes racionales), existen extensiones de los números complejos que tienen “números” que son trascendentales sobre los números complejos (estos “números” no resuelven ecuaciones no triviales con coeficientes complejos).
El segundo sentido tiene que ver con la relajación de las reglas. Los números complejos son un campo, que requiere su multiplicación para satisfacer la ley conmutativa. También son un espacio de dimensión finita con respecto a los escalares reales. (Por supuesto, dado que hace referencia a la interpretación de geometría plana de números complejos, no se sorprenderá al saber que la dimensión de este espacio es 2.) Es posible demostrar que, de hecho, son el único campo de dimensión finita extensión de los reales; sin embargo, si uno relaja los requisitos, también hay una extensión de cuatro dimensiones que es asociativa pero no conmutativa, y una extensión de ocho dimensiones que no es asociativa pero satisface una ley aún más débil. Sin embargo, es un poco discordante referirse a estas extensiones como “números”, ya que realmente no se ajustan a nuestra noción de lo que debería significar un “número”.