¿Cuál es el método para calcular una raíz cuadrada a mano?

Answer 1

Hubo un algoritmo estándar de raíz cuadrada (a veces llamado método de Horner) que se enseñó durante siglos y solo desapareció después de que las calculadoras se volvieron comunes. Fue conocido en la antigua China, la antigua India, el Islam medieval, Europa occidental y en todo el mundo. Se generaliza a raíces de mayor grado, y en esa generalización se inventó el triángulo aritmético (más tarde llamado triángulo de Pascal). Los chinos lo generalizaron para que pudiera usarse para resolver ecuaciones polinómicas.

Esto es lo que parece para un par de raíces cuadradas
Fuente: algoritmo de raíz cuadrada para C

Explicación de los algoritmos para encontrar la raíz cuadrada de 152.2756.

Emparejar los dígitos. El primer grupo es 01. La raíz cuadrada de 1 es 1. Escribe eso como el primer dígito arriba del signo de raíz cuadrada. Resta 1 por 1, es decir, 01, de 01, para obtener 00.

Baja los siguientes dos dígitos 52. Duplica la respuesta parcial 1 para obtener 2 (que generalmente se escribe a la izquierda de 52). Encuentre el dígito más grande x para que 2 x veces x sea ​​menor o igual que 52. x es 2 ya que 22 veces 2 es 44. Escriba 2 junto a 1 para la respuesta parcial. Resta 44 de 52 para obtener 8.

Baje los siguientes dos dígitos, 27, para obtener 827. Duplique la respuesta parcial 12 para obtener 24 y encuentre el dígito más grande y de modo que 24 y veces y sea ​​≤ 827. y sea ​​3.

Continuar de la misma manera.

Para obtener más información sobre el algoritmo, consulte Métodos para calcular raíces cuadradas.

Answer 2

Mediante el uso de una serie de Taylor
[matemáticas] (1 + x) ^ {\ frac {1} {2}} = 1 + \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {8} x ^ 2 + \ frac {1} { 16} x ^ 3 + \ cdots [/ math]
Entonces, digamos que quieres sacar la raíz cuadrada de 22. Sabes que 25 es un cuadrado perfecto. Puedes escribir
[matemática] 22 ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {25-3} = \ sqrt {25} \ sqrt {1 – \ frac {3} {25}} = 5 \ sqrt {1 – \ frac {3} {25}} [/ matemáticas]
Ahora usas la serie Taylor en el segundo término
[matemáticas] \ sqrt {1- \ frac {3} {25}} = 1 – \ frac {3} {2 \ cdot25} – \ frac {3 ^ 2} {8 \ cdot 25 ^ 2} – \ frac { 3 ^ 3} {16 \ cdot 25 ^ 3} + \ cdots [/ math]
Observe que el segundo término es una corrección del 5% y el segundo término es una corrección del 0.1% y el término posterior será una corrección del 0.001%. Entonces encontramos
[matemáticas] \ sqrt {22} = 5 – \ frac {3} {10} – \ frac {9} {10 ^ 3} – \ frac {54} {10 ^ 5} + \ cdots = 4.6904 [/ matemáticas]

Esto generalmente funciona mejor y mejor para grandes números. Necesitas encontrar el cuadrado perfecto más cercano, N ^ 2, y luego lo máximo que estás lejos de ese cuadrado perfecto es estar a medio camino de (N + 1) ^ 2, entonces N ^ 2 + N
[matemáticas] (N ^ 2 + N) ^ {\ frac {1} {2}} = N + \ frac {1} {2} – \ frac {1} {8 N} + \ frac {1} {16 N ^ 2} + \ cdots [/ math]
Entonces, si N = 100 y estás sacando la raíz cuadrada de 10,100, la raíz cuadrada es
[matemáticas] 100 + \ frac {1} {2} – \ frac {1} {800} + \ frac {1} {160000} + \ cdots [/ matemáticas]
que converge muy rápido

Answer 3

Otro algoritmo que funciona notablemente bien es el método de Bisección.

Primero explicaré esto con la ayuda de un ejemplo. Digamos que quieres encontrar la raíz cuadrada de [math] 3 [/ math].

Preliminares:
[matemática] x ^ 2 = 3 [/ matemática] se puede escribir en la notación de función [matemática] f (x) = x ^ 2 – 3 [/ matemática]
Encontrar la ‘raíz’ significa encontrar [matemáticas] x [/ matemáticas] donde [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]

Asunción: la función es continua.

Paso 1:
Necesitamos dos conjeturas para [math] x [/ math] de modo que en un caso, la función se evalúe a un valor negativo y el segundo caso, la función se evalúe a un valor positivo.

En nuestro ejemplo, si tomamos [matemática] x = 1 [/ matemática] entonces [matemática] f (1) = -2 [/ matemática]. Para la segunda aproximación, considere [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. En este caso, [matemáticas] f (2) = 1 [/ matemáticas]

Nuestra respuesta DEBE estar en el intervalo [matemáticas] [1,2] [/ matemáticas].

Como se ilustra en la figura, la raíz se encuentra en el intervalo [matemáticas] [1,2] [/ matemáticas].

Paso 2:
Encuentre el punto medio de los dos puntos, es decir, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ frac {1 + 2} {2} = 1.5 [/ matemáticas]
Ahora evalúe la función en [matemáticas] x = 1.5 [/ matemáticas]. Obtenemos, [matemáticas] f (1.5) = -0.75 [/ matemáticas].
Ahora nuestra raíz se encuentra entre dos puntos, de modo que cuando la función se evalúa en esos dos puntos, las funciones deben tener signos opuestos.
En nuestro caso,
[matemáticas] f (1) = -2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (2) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (1.5) = -0.75 [/ matemáticas]

Ahora los puntos que satisfacen la condición mencionada anteriormente son 1.5 y 2. Nuestro nuevo intervalo es [matemática] [1.5,2] [/ matemática]

Paso 3:
Sigue repitiendo este proceso. Es decir,
[matemáticas] f (1.5) = -0.75 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (2) = 1 [/ matemáticas]

El punto medio de [matemáticas] 1.5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1.75 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (1.75) = 0.0625 [/ matemáticas]

Intervalo actualizado a [matemáticas] [1.5,1.75] [/ matemáticas]

Como puede haber observado el valor del punto medio, nuestra aproximación se acerca cada vez más a la raíz real de [math] 3 [/ math], que es [math] 1.73205080757 [/ math]. Si realiza más iteraciones, obtendrá un mejor resultado.

Nota: Esto funciona para cualquier función continua con una raíz.
Puede hacer lo mismo para [math] f (x) = x ^ 3 – 3 [/ math] para averiguar la raíz cúbica de [math] 3 [/ math].

Aquí hay un código de esquema para calcular esto:

(define tolerance 0.01) (define (mid ab) (/ (+ ab) 2)) (define (good-enough? fm) (cond ((< (abs (- (fm) 0)) tolerance) #t) (else #f))) (define (is-neg? x) (cond ((< x 0) #t) (else #f))) (define (bisection-search f pos-pt neg-pt) (let ((mid-pt (mid pos-pt neg-pt)) (f-pos (f pos-pt)) (f-neg (f neg-pt)) (f-mid (f (mid pos-pt neg-pt)))) (cond ((good-enough? f mid-pt) mid-pt) ((is-neg? f-mid) (bisection-search f pos-pt mid-pt)) (else (bisection-search f mid-pt neg-pt))))) (bisection-search (lambda(x) (- (* xx) 3)) 2.0 1.0) ;output: 1.734375 

Answer 4

Método de Newton

1. Adivina, [matemáticas] g [/ matemáticas]
2. Calcule el promedio de [matemáticas] g [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {22} {g} [/ matemáticas]
3. Usando el resultado como su nueva suposición, regrese al paso 2. Repita todo el tiempo que desee.

Por ejemplo, podría comenzar con la suposición 5. Luego tomo el promedio dado por [matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (5 + \ frac {22} {5} \ right) = 4.7 [/ matemáticas ] Luego tomo el promedio [math] \ frac {1} {2} \ left (4.7 + \ frac {22} {4.7} \ right) = 4.690425 … [/ math].

Se vuelve tedioso continuar, pero esto ya está cerca del valor real 4.690415 …

Para ver aproximadamente por qué esto funciona, suponga que [math] g [/ math] es demasiado pequeño. Entonces [matemáticas] 22 / g [/ matemáticas] será demasiado grande porque el denominador es pequeño. El número demasiado grande y el número demasiado pequeño promedian casi la raíz cuadrada correcta.

Otra forma de decirlo es que estamos usando una media aritmética para aproximar una media geométrica. Geométricamente, es como decir que si comienzas con un rectángulo cuya área es 22 (5 por 4.4 en este caso, ya que 22/5 = 4.4).

Crea un cuadrado en el lado izquierdo. Hay un poco más colgando de la derecha.

Tome la cantidad extra, córtela por la mitad.

Y muévelo a la cima.

Lo que tienes es una forma con la misma área (22) que es casi un cuadrado; solo está un poco apagada porque falta la esquina. Los lados casi cuadrados son el promedio de las longitudes laterales del rectángulo. Por lo tanto, estas longitudes laterales (4.7 en este caso) son una estimación para la raíz cuadrada de 22. Como puede ver, es una ligera sobreestimación.

A medida que itera el proceso, converge a la respuesta muy rápidamente. Si su suposición está desactivada por [math] \ epsilon [/ math], su suposición en la próxima iteración estará desactivada aproximadamente por [math] \ frac {\ epsilon ^ 2} {2 \ sqrt {n}} [/ math] . (Si está interesado, puede resolver este álgebra con los primeros términos de la expansión binomial).

Cognoscenti puede querer verificar que este es un caso especial del método de Newton aplicado a la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – 22 = 0 [/ matemáticas].

Esto es lo mismo que la respuesta de Alon Amit (comencé a responder y me fui; su respuesta apareció en el ínterin).

Expansión Binomial

Tenga en cuenta que [matemáticas] (1+ \ frac {1} {2} x) ^ 2 = 1 + x + \ frac {1} {4} x ^ 2 [/ matemáticas]. Mientras [math] x [/ math] sea pequeño en comparación con uno, podemos decir

[matemáticas] (1+ \ frac {1} {2} x) ^ 2 \ aprox 1 + x [/ matemáticas]

o tomando raíces cuadradas

[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} x \ aprox \ sqrt {1 + x} [/ matemáticas]

Esto nos permite tomar raíces cuadradas de números cerca de 1. De hecho, la aproximación es solo el resultado del método de Newton anterior, encontrando la raíz cuadrada de [matemática] 1 + x [/ matemática] con [matemática] 1 [/ matemática] como Nuestra primera suposición.

Para usarlo, necesitamos transformar el problema para que parezca que estamos tomando la raíz cuadrada de algo cerca de uno.

22 está cerca de 25, así que reescribo la raíz cuadrada como [matemáticas] (25 – 3) ^ {\ frac {1} {2}} = 5 (1 – \ frac {3} {25}) ^ {\ frac { 1} {2}} \ aprox 5 (1 – \ frac {1} {2} \ frac {3} {25}) = 4.7 [/ matemáticas]

Esta es la misma respuesta que antes (como debería ser, ya que en última instancia proviene del mismo lugar).

Esta es una aproximación binomial de primer orden. Para avanzar más, podríamos tomar

[matemáticas] (1 + x) ^ {\ frac {1} {2}} \ aprox 1 + \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {8} x ^ 2 [/ matemáticas]

Esto generalmente no es muy útil en términos de calcular cosas a mano. Converge más lentamente que el método de Newton a medida que agrega más términos a la expansión. Sin embargo, a veces es útil tener una expresión en serie en lugar de un procedimiento iterativo porque puede hacer un trabajo analítico con la serie.

Esto es lo mismo que la respuesta de Hongwan Liu. Él también respondió mientras yo estaba fuera.

Métodos dígito por dígito
El método de Newton puede darle una buena estimación rápidamente, y si fuera a escribir un programa de computadora para sacar la raíz cuadrada, el método de Newton sería un buen camino a seguir.

Sin embargo, si quisieras obtener 10 dígitos de la raíz cuadrada, tendrías que resolver un problema de división difícil para usar el método de Newton. Existen algoritmos que puede seguir para extraer los dígitos uno por uno de una manera directa y formula. He olvidado los métodos que he visto, pero Ed Caruthers describe uno en su respuesta.

Métodos creativos

• Haga rodar una pelota por una ligera inclinación de un metro y mida el tiempo. Luego, haga rodar la pelota por una pendiente de la misma pendiente, pero 22 metros y mida el tiempo. La razón de los tiempos es la raíz cuadrada de 22. Esto funciona porque la distancia caída es el cuadrado del tiempo, por lo que el tiempo es la raíz cuadrada de la distancia.
• Si no tiene un temporizador, haga lo mismo, pero cuando la pelota llegue al fondo de la rampa, déjela volar horizontalmente desde el borde de una mesa. Mide qué tan lejos llega. La razón de las distancias recorridas es la raíz cuadrada de 22. Esto funciona porque la energía cinética es el cuadrado de la velocidad, por lo que la velocidad es la raíz cuadrada de la energía. Medir qué tan lejos vuela la bola de la mesa es una medida de su velocidad.
• El período de un péndulo es [matemáticas] \ sqrt {\ frac {g} {l}} [/ matemáticas]. Como [math] g = 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 [/ math], un péndulo con longitud [math] \ frac {9.8} {22} \ mathrm {m} [/ math ] tiene un período de [math] \ sqrt {22} \, \, \ mathrm {s} [/ math].
• Encuentre a alguien que tenga una calculadora / computadora y pregúntele.
• Reconoce que la realidad solo existe en tu mente y que los números y los símbolos son solo construcciones mentales. (Varios comentaristas sobre mis respuestas de mecánica cuántica me han informado útilmente sobre esto). Por lo tanto, al cambiar el estado de su mente, puede hacer que 22 tenga la raíz cuadrada que desee. Yo elegiría la sandía.
• Haga una caja de dimensiones 3 “x3” x2 “. Mida su diagonal larga, que es [math] \ sqrt {22} [/ math]”
• Revisa todos los escondites comunes: en el armario, debajo de la cama, etc. Nunca sabes dónde encontrarás la raíz cuadrada de 22. Si todo lo demás falla, contrata a Dog the cazarrecompensas. El puede encontrar cualquier cosa.

Answer 5

Si sabes cómo cuadrar números, entonces sabes cómo cuadrar números raíz.

Solo búsqueda binaria.
Deje [math] x = \ sqrt {22} [/ math]
Está claro que [matemáticas] 4 Calcule [matemática] 4.5 ^ 2 = 20.25 [/ matemática] para reducir el rango a [matemática] 4.5 Intente [matemáticas] 4.7 ^ 2 = 22.09 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 4.6

Este método es excelente para hacer aproximaciones crudas de raíces cuadradas en su cabeza, y es especialmente fácil de hacer si está familiarizado con sus cuadrados de dos dígitos.

Aprende el truco de cuadratura de Wu para calcular cuadrados en solo unos segundos.

Answer 6

Todos los métodos discutidos hasta ahora se vuelven aritméticamente tediosos muy rápido. Creo que necesitarías al menos una calculadora de bolsillo para hacer todas las multiplicaciones y divisiones de varios dígitos. Son excelentes métodos para aprender algunas matemáticas fundamentales, pero no son prácticos si solo tienes papel y lápiz. Para el cálculo realmente manual de raíces cuadradas, use la modificación de la división larga que se enseñó (al menos a nuestra clase) en sexto grado. Es el método bajo Decimal (base 10) en el artículo de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Met… . El siguiente formato del segundo ejemplo puede hacer que la explicación Wiki del método sea un poco más fácil de seguir.
1. 4 1 4 2
/ /
\ / 02.00 00 00 00
02
1 * 1 -> 01
01 00
2 4 * 4 -> 00 96
04 00
28 1 * 1 -> 02 81
01 19 00
282 4 * 4 -> 01 12 96
06 04 00

Espero no ser la única persona que recuerda esto. Eso podría hacerme sentir muy viejo. Al menos el artículo de Wiki fue citado por Changqi Cai.

Editar: Mi ejemplo de la raíz cuadrada de 2 fue fácil, especialmente porque muchas personas saben la respuesta correcta al menos a 3 decimales. Pero aquí está la aplicación para Sqrt [20]. Los números que tienes que multiplicar a mano son algo mayores.

4. 4 7 2 1
/ /
\ / 20. 00 00 00 00
20
4 * 4 -> 16
4 00

8 4 * 4 -> 3 36
64 00
88 7 * 7 -> 62 09
1 91 00
894 2 * 2 -> 1 78 84
1216 00
8944 1 * 1 -> 894 41

Mi calculadora de bolsillo dice Sqrt [20] = 4.4721360

Editar: Aquí está el origen del método, para aquellos interesados:
y es el número que está tratando de encontrar. Es decir, sabes y ^ 2.
Numere los pasos, comenzando con n = 0 cuando escriba el primer entero aproximado.
a es la aproximación después de n-1 pasos.
En el enésimo paso
y = a + R. Si supieras R, estarías terminado. En cambio, repacemos R con el entero I para obtener la siguiente cifra significativa en la aproximación. Expandir y ^ 2 y multiplicar ambos lados por 10 ^ 2n da
(10 ^ 2n) * (y ^ 2 – a ^ 2) ~ [2 (10 ^ n) a + (10 ^ n) I] [(10 ^ n) I]
El lado izquierdo de la ecuación anterior es el resto del paso anterior, con el decimal movido.

Answer 7

Aunque no es tan práctico cuando se trata de números grandes (porque no converge tan rápido), hay una forma muy inusual de encontrar una raíz cuadrada.

[matemáticas] \ sqrt {x} = \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {x} = 1 + (\ sqrt {x} – 1) [/ matemáticas]

Racionalizar el próximo término da una fracción continua.

El truco sobre las fracciones continuas es que cuanto más te alejas, más son los términos. Descuidarlos puede obtener una respuesta satisfactoriamente buena.

Suponga que quiere encontrar [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Asumir cualquier cosa después del tercer término cero.

Así [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + (1 / (2 + 1 / (2 + 1/2))) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + (1 / (2 + 1 / (5/2))) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + (1 / (2 + 0.4)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 1 / 2.4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 0.416666… [/ matemáticas]

No está mal, ¿eh?
Ahora sé un hombre y prueba eso con 612.

EDITAR:

Todavía no soy tan útil con LaTeX. ¿Cómo haces fracciones continuas?

Answer 8

Me gustan varios de los métodos descritos anteriormente, y si simplemente quisiera los términos de la expansión decimal, probablemente usaría el descrito por Ed Caruthers, pero aún no he visto a nadie mencionar este enfoque para obtener un [ es decir, con todos los numeradores 1] aproximación de fracción continua, (no especificó si deseaba una aproximación decimal o no) Los convergentes de una fracción continua simple tienen algunas propiedades agradables y generalmente serán muy buenas aproximaciones (en el sentido de que vienen más cerca del número que está tratando de aproximar que cualquier otro número racional con un denominador más pequeño); además, aunque los detalles a continuación pueden parecer engorrosos, en realidad son relativamente fáciles de hacer con lápiz y papel.

Comience con un número, como [math] \ alpha_0 = \ sqrt {22} [/ math], y escríbalo como una parte entera, [math] a_0 = \ left \ lfloor \ sqrt {22} \ right \ rfloor = 4 [/ math] más un resto entre 0 y 1, es decir, [math] r_0 = \ sqrt {22} – a_0 = \ sqrt {22} – 4 [/ math].

Establecer [matemáticas] \ alpha_1 = \ frac {1} {r_0} = \ frac {1} {\ sqrt {22} -4} = \ frac {\ sqrt {22} +4} {22-16} =
\ frac {\ sqrt {22} +4} {6} [/ math] e itera el proceso.

Es decir, una vez que sepamos [matemáticas] \ alpha_n [/ matemáticas], estableceremos
[matemáticas] a_n = \ left \ lfloor \ alpha_n \ right \ rfloor [/ math], [math] r_n = \ alpha_n – a_n [/ math] y [math] \ alpha_ {n + 1} = \ frac {1} {r_n} [/ math].

Entonces, por ejemplo [math] a_1 = \ left \ lfloor \ frac {\ sqrt {22} +4} {6} \ right \ rfloor = 1 [/ math], [math] r_1 = \ frac {\ sqrt {22 } +4} {6} – 1 = \ frac {\ sqrt {22} – 2} {6} [/ matemáticas]
y [matemáticas] \ alpha_2 = \ frac {6} {\ sqrt {22} – 2} = \ frac {6 \ sqrt {22} +12} {22 – 4} = \ frac {\ sqrt {22} +2 } {3} [/ math], que muestra que [math] a_2 = 2 [/ math].

Si itera este proceso (y comenzó con un [math] \ alpha_0 [/ math] que no era en sí mismo un entero, sino que era la raíz cuadrada de un entero) eventualmente alcanzará un [math] r_k [/ math] que es lo mismo que [math] r_0 [/ math] y el proceso comenzará a alternar con [math] a_ {k + 1} = a_1 [/ math], etc. (el último [math] a_k [/ math] antes de que comience el ciclo será dos veces [math] a_0 [/ math], pero [math] a_0 [/ math] no será parte del ciclo)

en el caso de [math] \ alpha_0 = \ sqrt {22} [/ math], la expansión de fracción continua simple es
[matemáticas] [4,1,2,4,2,1,8, 1,2,4,2,1,8, \ ldots] [/ matemáticas], que representa la fracción
[matemáticas] 4 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {2+ \ frac {1} {4 + \ frac {1} {2+ \ cdots}}}} [/ matemáticas]

con convergentes (¡también hay un atajo útil para calcularlos!)
[matemáticas] 4, 5, 14/3, 61/13, 136/29, 197/42, \ ldots [/ matemáticas]

[matemáticas] 61/13 [/ matemáticas] ya es bueno para 2 decimales (de hecho, el error es menor que [matemáticas] .0019 [/ matemáticas]) y [matemáticas] 197/42 [/ matemáticas] se aproxima a [matemáticas ] \ sqrt {22} [/ math] con un error de menos de [math] 1/16000 [/ math].

Answer 9

La expansión binomial también funciona bastante bien. Reescribe la raíz cuadrada como:

[matemáticas] \ sqrt {22} = \ sqrt {25 – 3} = 5 (1 – \ frac {3} {25}) ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

y luego usa la expansión binomial:

[matemáticas] = (1 – x) ^ {\ alpha} = 1 – \ alpha x + \ frac {\ alpha (\ alpha – 1)} {2!} x ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {\ alpha (\ alpha – 1) (\ alpha – 2)} {3!} x ^ 3 + \ cdots [/ math]

para [matemáticas] | x | <1 [/ matemáticas]. Obtendrás algo como

[matemáticas] \ sqrt {22} = 5 (1 – \ frac {3} {50} – \ frac {1} {8} \ cdot \ frac {9} {625} + \ cdots) [/ math]

Puede continuar el cálculo con una precisión arbitrariamente alta, pero cuando llegue al tercer término (el primer término es solo 1), habría calculado la raíz cuadrada como 4.691, con la raíz cuadrada real 4.69041576 …

Answer 10

Haga un marco de una caja con la especificación a continuación. Luego, la raíz cuadrada de 22 se puede calcular midiendo la longitud de la diagonal del espacio (el segmento de línea roja).

Editar:
Aquí está la versión bidimensional de la misma, basada en el mismo principio.

Para general [math] \ sqrt {n} [/ math] podemos hacer lo siguiente. Primero, según el teorema de Lagrange (teorema de cuatro cuadrados de Lagrange), cada entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados, [matemáticas] n = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora podemos hacer una construcción similar a la anterior para obtener [math] \ sqrt {n} [/ math]

Answer 11

El método que prefiero para calcular raíces cuadradas a mano es este:

1. Digamos que desea calcular la raíz cuadrada de [math] m [/ math].
2. Haga una suposición astuta de algunas [matemáticas] x [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es aproximadamente [matemáticas] m [/ matemáticas].
3. Determine la diferencia real entre [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática]. Llame a esta diferencia [matemáticas] d [/ matemáticas].
4. Modifique [math] x [/ math] sumando o restando la razón [math] \ frac {d} {2x} [/ math] (“sumar o restar” obviamente dependiendo de si [math] x ^ 2 [/ matemática] sobreimpulsos o subimpulsos [matemática] m [/ matemática]).
5. Repita siempre que la capacidad de cálculo mental o la paciencia lo permitan.

Por ejemplo, para [matemáticas] m = 22 [/ matemáticas], puede comenzar con una suposición inicial de [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas]. Como [math] 5 ^ 2 = 25 [/ math], hemos terminado por [math] 3 [/ math], por lo que restamos [math] 3/10 [/ math] de [math] 5 [/ math] a obtener [matemáticas] x = 4.7 [/ matemáticas].

Luego, necesitamos encontrar [matemáticas] 4.7 ^ 2 [/ matemáticas]. Es más fácil hacer [matemáticas] 47 ^ 2 [/ matemáticas] y luego dividir por 100; con algo de práctica puedes hacer [matemáticas] 47 ^ 2 [/ matemáticas] en tu cabeza y obtener 2209 (truco: hacer [matemáticas] (50-3) ^ 2 [/ matemáticas] y usar la fórmula binomial. Es muy fácil aquí ) Esto significa que [matemáticas] 4.7 ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] 22.09 [/ matemáticas], ya es una muy buena aproximación.

La siguiente iteración nos hace reducir [matemática] 4.7 [/ matemática] en [matemática] \ frac {0.09} {9.4} [/ matemática] (el denominador es solo dos veces [matemática] 4.7 [/ matemática]). Esto es más difícil de hacer sin lápiz y papel, pero con esas ayudas debería poder obtener [matemáticas] x = 4.690425 [/ matemáticas] o algo así, lo cual ya es una muy buena aproximación de la raíz cuadrada de 22: [matemáticas] \ sqrt {22} \ aprox 4.690416 [/ math].

Nota: esto no es más que el “Método de Newton” estándar, o Newton-Raphson, para aproximar las raíces de las funciones que podemos diferenciar. La función en cuestión es [matemática] x ^ 2-m [/ matemática].

Answer 12

( Esta es la forma interesante de formar números cuadrados o encontrar raíces cuadradas cuando se cuentan los números de triángulo … Pensé que también compartiría el significado detrás de este patrón geométrico simple y hermoso).

5 (cuadrado) = 5 × 5 = 25

Y viceversa, √25 = 5.

¡Un método interesante para calcular números cuadrados o raíz cuadrada es dibujar Sri Saraswati Yantra! Antes de continuar con la respuesta a esta pregunta, explicaré los antecedentes.

Según la mitología hindi, ‘Saraswati’ es venerada como la diosa del aprendizaje, el conocimiento, la música, el arte y la sabiduría. Saraswati simboliza el poder creativo de Brahma. Saraswati Yantra dibujó principalmente con motivo de ‘Saraswati Pujan’ (dassera / Diwali en India). Diosa Saraswati es adorada por todas las personas interesadas en el conocimiento, especialmente los estudiantes, maestros, académicos y científicos.

Diosa representada simbólicamente de muchas maneras, a continuación se encuentra el Yantra comúnmente dibujado. Los elementos en este dibujo son ‘1’ numérico en Devanagari Script, líneas rectas y curvas dibujadas al final alrededor de cada número.

Ahora, curiosamente, este yatra da el número cuadrado de n no. de ‘1’ escribimos en una fila, y crea una relación cuando no. de formas de triángulos al crear el patrón.

Y así..

Yantra generalmente dibuja con cinco, siete y nueve de ‘1’s,

Este patrón solo da raíz cuadrada de cuadrados perfectos.

Answer 13

ya que es sin calc .. tenemos que usar una manera diff ..

primero voy a expandir 22 a 2200 …

ahora sabemos que su raíz sqr es apuesta 40 – 50 ..

sqr (45) es 2025 (que se puede calcular con el método de obtener la raíz cuadrada de los números con 5 como dígito unitario, es decir, sqr (25) es 2 * (2 + 1) = 6 y 25. es decir, 625 sqr (35 ) es 3 * (3 + 1) = 12 agregar 25, es decir, 1225)

ahora la respuesta es entre 45-50

vemos que sqr (46) = sqr (45) + 45 + 46 = 2116
sqr (47) = sqr (46) + 46 + 47 = 2209

entonces
sabemos que nuestra respuesta es entre 46 y 47
47.0 – 46.0 = 10 valores (aumentado en 0.1) (46.1,46.2,46.3)
sqr (47) – sqr (46) = 93
podemos asumir una relación lineal (ya que la diferencia es menor)
como. 0.1–> 9.3
2200-9.3 = 2199.7
entonces
47- 0.1 = 46.9
así la respuesta
es 4.6905 algo ..

Answer 14

El método de Newton dice que

encuentre la solución para x ^ 2 = s

Ahora deje que f (x) = x ^ 2-s

Hallazgo es lo mismo que resolver la ecuación . Por lo tanto, se puede usar cualquier algoritmo numérico general de búsqueda de raíces. El método de Newton, por ejemplo, se reduce en este caso al llamado método babilónico:

Realice este paso 5-6 veces y obtendrá una respuesta aproximada …

Incluso el Math.sqrt en C usa el mismo método …

Answer 15

¿De qué tipo de números estás tratando de encontrar la raíz cuadrada y cuánta precisión necesitas?

En general, el método en la respuesta de Ray Wood funciona bien (aunque, si observa los comentarios, también se describe el método de Babilonia, que es más eficiente, pero tiene el inconveniente de ser más difícil de hacer para un humano de manera confiable).

Por otro lado, si solo necesita un par de dígitos de precisión, entonces la observación de que [matemáticas] \ sqrt {1 \ pm x} \ aprox 1 \ pm x / 2 [/ matemáticas] para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas] podría ser un enfoque más fácil.

Por ejemplo, supongamos que quiero encontrar [math] \ sqrt {110} [/ math]. Noto que el cuadrado perfecto más cercano es [matemática] 100 [/ matemática], y luego escribo [matemática] \ sqrt {110} = \ sqrt {100 + 10} = 10 \ sqrt {1 + 1/10} \ aprox 10 (1 + 1/20) = 10 (1.05) = 10.5 [/ matemáticas].

En realidad, [math] \ sqrt {110} = 10.4881 \ ldots [/ math], que, considerando el poco trabajo que hicimos, es una estimación bastante buena. (Y, cuanto mayor sea el número del que está tratando de encontrar la raíz cuadrada, más precisa será esta aproximación, aunque será cada vez más difícil encontrar el cuadrado perfecto más cercano).

Este enfoque deriva de la serie Taylor de [math] \ sqrt {1 + x} [/ math], y si bien podría seguir agregando más términos de la serie Taylor para obtener una mejor y mejor aproximación, probablemente esta no sea la más eficiente acercarse a, aproximarse.

Answer 16

Mi método favorito para calcular la raíz cuadrada de cualquier número positivo es tomar la expansión de fracción continua generalizada de las raíces cuadradas. (Lo siguiente usa enteros como ejemplo, pero cualquier z, x, y que satisfaga z = x ^ 2 + y funciona).

Si z = x ^ 2 + y (por ejemplo, 129 = 11 ^ 2 + 8), el sqrt (z) = x + y / (2x + y / (2x + y / …), o sqrt (z) = x + y / (x + sqrt (z)) (cancele el denominador del segundo término para ver que esto es cierto). Entonces, los términos S_0 = x, S_1 = x + y / (x + S_0), S_2 = x + y / (x + S_1), S_3 = x + y / (x + S_2), … convergerá a la raíz cuadrada de z. Ie S_i = x + y / (x + S_ (i-1))

Por ejemplo, para 129, x = 11 e y = 8 (x puede ser cualquier número, al igual que y, pero estas opciones mantienen x e y pequeño),
S_0 = 11
S_1 = 11 + 8 / (11 + 11) = 11.3636363 …
S_2 = 11 + 8 / (11 + 11.3636363) = 11.357723577
S_3 = 11 + 8 / (11 + 11.357723577) = 11.357818181
S_4 = 11 + 8 / (11 + 11.357818181) = 11.357816668

El valor verdadero es 11.357816692, por lo que el valor converge bastante rápido.

De hecho, existen soluciones de fracción continua generalizadas para cualquier raíz racional de cualquier número. Dado que los racionales son densos en los reales (es decir, existe una secuencia de Cauchy racional para todos los reales), esto permite calcular aproximaciones arbitrariamente cercanas a raíces reales valoradas de reales positivos.

Answer 17

Bueno, después de leer varias respuestas, me gustaría compartir este método, según el cual la raíz cuadrada de un número encontrado puede tener una precisión de hasta 2 decimales.

Así es como funciona:

Supongamos que el número dado es 40, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Piense en un número cuyo cuadrado sea cercano a 40. En nuestro caso puede 6 o 7, 6 cuadrados rinden 36 y 7 cuadrados rinden 49.
2. Elija el número cuyo cuadrado está más cerca del número dado. En nuestro caso, se elige 6, ya que produce 36, que está más cerca de 40.
3. Divide el número dado con el número elegido, es decir 40/6 rinde 6.6
4. Encuentre el promedio del cociente obtenido anteriormente y el número elegido, es decir, (6 + 6.6) / 2 produce 6.3 , que es la raíz cuadrada aproximada de 40.
5. Verifique los resultados con una calculadora.

Resultado de la calculadora: la raíz cuadrada de 40 es 6.32

Resultado calculado: la raíz cuadrada de 40 es 6.3

Practica y practica con diferentes números hasta que el método se sienta cómodo.

Gracias por leer. Siéntase libre de añadir sugerencias.

Enlace al blog:

https://www.oyewiki.com/educatio …

Answer 18

La mayoría de las respuestas publicadas aquí involucran métodos numéricos que, aunque son bastante interesantes, implican muchos más cálculos que el problema original. Creo que lo que estás buscando es escribir la raíz cuadrada en términos de diferenciales. Sin mucho rigor matemático, es algo así:

[matemáticas] y = \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemática] dy = \ frac {dx} {2 \ sqrt {x}} [/ matemática]

[matemáticas] \ Delta y = \ frac {\ Delta x} {2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]

Ahora, si establecemos [matemáticas] x = 25 [/ matemáticas] (cuadrado perfecto más cercano), [matemáticas] \ Delta x = -3 [/ matemáticas] y

[matemáticas] \ Delta y = – \ frac {3} {2 \ sqrt {25}} = – \ frac {3} {10} = – 0.3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {22} \ aprox. 5-0.3 = 4.7 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] \ sqrt {22} = 4.6904157 … [/ math], por lo que estamos fuera de [math] 0.2% [/ math].

Geométricamente, lo que hicimos aquí es aproximar la función de raíz cuadrada por una línea en el vecindario que nos interesaba. Usé la línea tangente (derivada), pero una línea secante hubiera sido igual de efectiva.

Answer 19

Aquí hay una respuesta de la geometría:
Para encontrar la raíz cuadrada de un número [matemática] x [/ matemática]:

Divida el número [math] x [/ math] en dos partes, de modo que el producto de las dos partes sea [math] x [/ math] en sí. (Por ejemplo, 12 se puede dividir en (4 y 3) o (6 y 2), lo que quiera o prefiera. Por lo tanto, si [math] x [/ math] es primo, siempre puede dividirse en [math] x [/ matemáticas] y 1.). Ahora, digamos que [math] x [/ math] se divide en [math] a [/ math] y [math] b [/ math].

Dibuje un segmento de línea de longitud [math] (a + b) [/ math] y construya un semicírculo con diámetro [math] (a + b) [/ math] como este:

Ahora, en el punto donde se tocan los dos segmentos de línea, dibuje una perpendicular al diámetro y extienda la perpendicular a la periferia del círculo (de longitud [matemática] m [/ matemática]:

La longitud de esta bisectriz [matemática] m [/ matemática] será:
[matemáticas] m = \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Aquí es por qué:
Si dos acordes se cruzan en un círculo, el producto de las longitudes de los segmentos de un acorde es igual al producto de los segmentos del otro.

Entonces, en el diagrama a continuación, [matemáticas] AE \ cdot BE = CE \ cdot DE [/ matemáticas]:
Si uno de los acordes es un diámetro, bisecará la perpendicular (por ejemplo, [matemática] CD [/ matemática] es un diámetro y AB es la perpendicular, entonces [matemática] AE = BE [/ matemática]), y por lo tanto, [ matemáticas] m \ veces m = a \ veces b [/ matemáticas]
o [matemáticas] m = \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Answer 20

Puedes usar el método de Newton.
[robando de Wikipedia:]
Para (casi) cualquier función [matemática] f (x) [/ matemática] puede encontrar una raíz de esta función así:

Primero adivine [math] x_0 [/ math], una mejor estimación viene dada por:
[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} \, [/ matemáticas].

Por ejemplo, si se desea encontrar la raíz cuadrada de 612, esto es equivalente a encontrar la solución para

[matemáticas] \, x ^ 2 = 612 [/ matemáticas]

La función a usar en el método de Newton es entonces,

[matemáticas] \, f (x) = x ^ 2 – 612 [/ matemáticas]

con derivada,

[matemáticas] f ‘(x) = 2x. \, [/matemáticas]

Con una suposición inicial de 10, ¡la secuencia da después de 5 iteraciones los primeros 12 dígitos correctos!

[Fuente: método de Newton]