¿Cómo determino la convergencia de [matemáticas] \ frac {{n ^ 2} +1} {{n ^ 3} +1}? [/matemáticas]?

Answer 1

La secuencia [math] \ left (\ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] es una secuencia monotónicamente decreciente limitada a continuación por [math ] 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, según el teorema de convergencia monótona, la secuencia [matemáticas] \ izquierda (\ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} \ derecha) _ {n = 1} ^ \ infty [/ matemáticas] converge. De hecho, tenemos [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} = \ text {inf} \ left (\ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} \ right) = 0 [/ math]. Puede probar esto formalmente de la siguiente manera.

Tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} = 0 \ iff \ left (\ forall \ varepsilon> 0 \ right) \ left (\ existe N \ in \ mathbb {N} \ right) \ left (\ left | \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} -0 \ right | \ le \ varepsilon \; \; \ forall n \ ge N \ right) [/ math]

Deje [math] \ varepsilon> 0 [/ math] dado. Tenemos

[matemáticas] \ left | \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} -0 \ right | = \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} \ le \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3} = \ dfrac {1} {n} + \ dfrac {1} {n ^ 3} \ le \ dfrac {1} {n} [/ matemáticas].

Si elegimos [math] N = \ dfrac {1} {\ varepsilon} [/ math], entonces tenemos [math] \ dfrac {1} {n} \ le \ varepsilon [/ math] para cada [math] n \ ge N [/ matemáticas]. En otras palabras, tenemos [math] \ left | \ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} -0 \ right | \ le \ varepsilon [/ math] por cada [math] n \ ge N [/matemáticas]. Como [math] \ varepsilon [/ math] era arbitrario, esto es cierto para cada [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Por lo tanto, la secuencia [math] \ left (\ dfrac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] converge a [math] 0 [/ math ]

Answer 2

Un simple truco con este tipo de secuencias (polinomio / polinomio) es simplemente mirar los términos principales.

Es decir, puede considerar la secuencia [math] \ frac {n ^ 2} {n ^ 3} = \ frac {1} {n} [/ math], ya que a medida que [math] n [/ math] crece, los 1 simplemente ya no importan.

Ahora, la secuencia [math] \ frac {1} {n} [/ math] va a 0 a medida que [math] n [/ math] crece, por lo que el límite es 0.

Por supuesto, esto no es una prueba rigurosa.

Si quisiéramos hacer un argumento más riguroso, podríamos hacer algo en la línea de lo siguiente.

[matemáticas]
\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1 + 1 / n ^ 2} {n + 1 / n ^ 2}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= \ frac {\ lim_ {n \ to \ infty} 1+ \ lim_ {n \ to \ infty} 1 / n ^ 2} {\ lim_ {n \ to \ infty} n + \ lim_ {n \ to \ infty} 1 / n ^ 2}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= \ frac {1 + 0} {\ lim_ {n \ to \ infty} n + 0}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= \ frac {1} {\ lim_ {n \ to \ infty} n}
[/matemáticas]

[matemáticas]
= 0
[/matemáticas]
porque el “1 / infinito” es 0.

Tampoco es una prueba rigurosa per se, pero muestra un método de al menos mostrar el límite sin agitar demasiado las manos. (Me basé en algunos datos sobre los límites aquí, por lo que querrá pasar por las propiedades de límite y asegurarse de comprenderlas)

Para probar esto de manera más rigurosa, tendría que mostrar que para todos los números positivos [matemática] \ epsilon [/ matemática], puede encontrar un número natural tal que cuando [matemática] n [/ matemática] exceda o sea igual a eso número, la distancia entre [matemática] \ frac {n ^ 2 + 1} {n ^ 3 + 1} [/ matemática] y 0 es menor que [matemática] \ epsilon [/ matemática].

Answer 3

La secuencia converge, la siguiente pregunta es:

¿La serie sigma [(n ^ 2 + 1) / (n ^ 3 + 1)] converge?

Aquí se puede usar la prueba de comparación.

Sabemos que la serie de (1 / n) es divergente, si (n ^ 2 + 1) / (n ^ 3 + 1)> (1 / n), entonces, mediante la prueba de comparación, la serie f (n) = (n ^ 2 + 1) / (n ^ 3 + 1) es divergente.

(1 / n) <(n ^ 2 + 1) / (n ^ 3 + 1) multiplicación cruzada

(n ^ 3 + 1) <(n ^ 3 + n)

1 1 es verdadero, entonces f (n) es divergente.

Answer 4