¿Por qué no [math] \ dfrac {1-3 \ sin ^ 3x} {3 \ cos ^ 2x} [/ math] y [math] \ dfrac {\ sin x-3 \ sin ^ 3x} {3 \ cos ^ 2x} [/ math] tiene el mismo límite en [math] x = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math] debido al teorema de compresión?

Answer 1

El teorema de compresión es completamente irrelevante para este ejemplo.

Para que se aplique el teorema de compresión, necesita tres funciones [matemáticas] f, g, h [/ matemáticas] y un número [matemáticas] a [/ matemáticas] de modo que

[matemáticas] f (x) \ leq g (x) \ leq h (x) [/ matemáticas]

para todas [matemáticas] x [/ matemáticas] cercanas a [matemáticas] a [/ matemáticas], y necesita saber que

[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) = \ lim_ {x \ a a} h (x) = L [/ matemáticas].

De esto se le permite concluir que

[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} g (x) = L [/ matemáticas].

En este ejemplo, solo ha asignado dos funciones [matemáticas] f, g [/ matemáticas], donde

[matemáticas] f (x) = \ frac {\ sin x – 3 \ sin ^ 3 x} {3 \ cos ^ 2 x} [/ matemáticas]

y

[matemática] g (x) = \ frac {1- 3 \ sin ^ 3 x} {3 \ cos ^ 2 x} [/ matemática].

Puedes ver en el gráfico que

[matemáticas] f (x) \ leq g (x) [/ matemáticas],

pero no ha proporcionado ninguna función [matemática] h [/ matemática] para “exprimir” [matemática] g [/ matemática] entre [matemática] f [/ matemática] y [matemática] h [/ matemática] cerca de [matemática] a = \ pi / 2 [/ matemáticas].

De hecho, su cálculo muestra que tal función h no puede existir , porque si así fuera, se aplicaría el teorema de compresión y f y g tendrían que tener el mismo límite en a.

Answer 2

Para complementar la respuesta del usuario de Quora: parece tener la impresión de que está bien reemplazar parte de una expresión con el límite de esa parte. En su caso, el problema reemplaza un [math] \ sin (x) [/ math] con 1 y deja las otras partes intactas, aparentemente bajo el supuesto de que ya estamos preguntando sobre el límite como [math] x [/ math ] se acerca a [math] \ pi / 2 [/ math], está bien intercambiar uno por el otro.

Entonces, no, eso no está bien. Ciertamente no se desprende del teorema de compresión, y tampoco se sigue de nada más, ya que es simplemente incorrecto. Ese ejercicio demuestra que está mal, pero también puedes ver esto con casos mucho más simples.

Por ejemplo, ¿cuál es el límite de [matemáticas] \ frac {2x + x ^ 2} {x} [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 0 [/ matemáticas]? Puede ver fácilmente que es 2. Pero, ¿y si reemplazamos esa [matemática] 2x [/ matemática] en el numerador con 0? Después de todo, como [matemática] x \ a 0 [/ matemática], [matemática] 2x \ a 0 [/ matemática] también. Pero ahora la expresión es [matemática] \ frac {x ^ 2} {x} = x [/ matemática] que tiende a 0 en lugar de 2.

Moraleja: no intente determinar el límite de una función reemplazando porciones aleatorias de la función con sus propios límites.

Answer 3

Al principio pensé que había perdido la cabeza. Y solo después de un tiempo descubrí que no es 3sin (x) ^ 3, sino sin (x) ^ 3. Fue solo un error. La gente te dio la respuesta correcta porque no se dio cuenta.

Ahora lleno como si tuviera que escribir una respuesta.

Un enfoque simple para calcular un límite de relación cuando ambos valores se convierten en 0 es tomar la relación de sus derivados. Y puede ver que las derivadas de sin (x) – sin (x) ^ 3 y 1 – sin (x) ^ 3 son diferentes: cos (x) (1 – 3sin (x) ^ 2) y cos (x) ( -3sin (x) ^ 2). Ambos son 0 en x = pi / 2. Pero la derivada de 3cos (x) ^ 2 es -6cos (x) sin (x). Cuando tomará la relación, el cos (x) se reducirá, lo que quede le dará 1/3 y 1/2 correspondientemente.

Si ambas funciones son cero, para calcular el límite de su relación se toma la relación de derivadas, si las derivadas son cero nuevamente, se toman segundas derivadas y así sucesivamente. Aquí tuvimos que tomar segundas derivadas, pero una pequeña suerte con la reducción de cos (x) ayudó a evitarlo. Sin embargo, cuando reemplaza 1 con sen (x) cambia exactamente el valor de la segunda derivada en el punto pi / 2. Por eso los límites son diferentes.

Si el denominador es, digamos, 3cos (x), no deberíamos bajar a la segunda derivada y ambas funciones darán el mismo límite debido a que las derivadas de 1 y sin (x) son las mismas en el punto pi / 2.