Cómo demostrar [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ sin (x) = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Supongo que realmente quieres probarlo de verdad y desde la definición trigonométrica. Así es cómo.

El valor [math] \ sin (\ theta) [/ math] es la altura del punto P en el círculo unitario un ángulo [math] \ theta [/ math] sobre el eje x, esto se debe a que puede dibujar un triángulo rectángulo colocando una línea desde P hacia abajo hasta el punto [matemática] (\ cos (\ theta), 0) [/ matemática] en el eje x, luego desde este punto en el eje x hasta el origen, luego desde el origen al punto original P en el círculo unitario. Ahora, la definición de un radián es exactamente que la longitud del arco desde el punto (1,0) a P es [matemática] \ theta [/ matemática]. Geométricamente, está claro que el arco es más largo que la línea entre P y el vértice [matemáticas] (\ cos (\ theta), 0) [/ matemáticas] del triángulo, es decir, [matemáticas] \ sin (\ theta) \ leq \ theta [/ math]. (Daré una prueba más cuidadosa de esto al final). Del mismo modo, tomando una reflexión a través del eje x, por ejemplo, puede mostrar que [math] \ sin (\ theta) \ geq- \ theta [/ math]. Ahora, cuando [math] \ theta [/ math] se acerca a cero, tanto [math] \ theta [/ math] como [math] – \ theta [/ math] tienden a cero. Y [math] \ sin (\ theta) [/ math] se comprime entre los dos. Ahí tienes.

Si quieres ser un poco más cuidadoso que el argumento geométrico que di que simplemente decir “está claro”, puedes dibujar el triángulo rectángulo con vértices [matemáticas] P, (1,0), (\ cos (\ theta) , 0) [/ matemáticas]. La hipotenusa de este triángulo es más grande que sus dos lados, uno de los cuales tiene una longitud [matemática] \ sin (\ theta) [/ matemática]. Además, la hipotenusa es una línea recta desde P hasta (1,0) y, por lo tanto, la curva más corta entre esos dos puntos. El arco de (1,0) a P, cuya longitud es [matemática] \ theta [/ matemática], es otra curva de P a (1,0) y, por lo tanto, su longitud es al menos la longitud de la hipotenusa de este nuevo triángulo. Eso lo hace.

Como comentario, puede usar este resultado para el límite, ya que [math] \ theta [/ math] va a 0, lo que de otro modo significa que [math] \ sin (\ theta) [/ math] es continuo en 0, a demuestre completamente que [math] \ sin (\ theta) [/ math] es continuo para todos [math] \ theta [/ math]. Solo tiene que usar un enfoque similar para mostrar que [math] \ cos (\ theta) [/ math] va a 1 como [math] \ theta [/ math] va a cero. Luego, solo usa la fórmula de adición como esta:

[matemáticas] \ lim _ {\ theta \ rightarrow a} \ sin (\ theta) = \ lim _ {\ theta \ rightarrow0} \ sin (\ theta + a) [/ math]

[matemáticas] = \ lim _ {\ theta \ rightarrow0} \ sin (\ theta) \ cos (a) + \ sin (a) \ cos (\ theta). [/ math]

Como [math] \ sin (\ theta) [/ math] va a 0 y [math] \ cos (\ theta) [/ math] va a 1, este límite es simplemente [math] \ sin (a) [/ math ]

Answer 2

¡Usa la expansión Taylor!

Puede ver claramente que tomar el límite cuando [math] x [/ math] va a cero hace que el lado derecho desaparezca. Por lo tanto, [math] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ sin (x) = 0 [/ math].

Editar: Algunas personas han expresado su preocupación sobre la validez de evaluar una suma tan infinita. Le señalo que el lado derecho es una expresión polinómica . Las preocupaciones sobre la divergencia de la serie pueden abordarse señalando que la serie debe converger en todas partes en el dominio de la función seno, de lo contrario no sería una serie de Taylor. Una prueba simple es suficiente para demostrar que el método que he descrito es perfectamente válido.

Suponga que [matemática] P (x) [/ matemática] es algún polinomio, tal que [matemática] P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3 } x ^ {3} … a_ {n} x ^ {n}. [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} P (x) = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} … a_ {n} x ^ {n} \ right) [/ math].

Sabemos que el límite de una suma es la suma de los límites individuales, y que las constantes se pueden ‘sacar’ del límite:

Todos estos límites individuales deben tender a cero. Sin excepciones. Por lo tanto, todo lo que queda es [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} P (x) = a_ {0} [/ matemáticas]. Debido a que no se hicieron restricciones en [math] n [/ math], esta prueba es válida para todos [math] n [/ math], incluso si es infinita.

Emparejamiento entre la expansión de Taylor y la definición de un polinomio, vemos claramente que [math] a_ {0} = 0 [/ math] para la expansión de Taylor. Por lo tanto, la totalidad del lado derecho convergerá a cero a medida que [math] x [/ math] vaya a cero.

Answer 3

El pecado de un ángulo x es la altura del triángulo rectángulo con ángulo x e hipotenusa 1 .. Es decir,
Si el ángulo x fuera 0, entonces la altura del triángulo sería cero. Límites … shmimits …

Answer 4

El seno es una función continua y sen 0 = 0. Esto es todo lo que necesitas saber. Si una función continua se define en cierto punto, entonces su límite a medida que se acerca a ese punto es solo el valor en ese punto.

Es algo así como un argumento circular, ya que es más o menos la definición de continuidad. La forma en que demuestre que el seno es continuo depende de cómo lo esté definiendo: si lo define en términos de exponenciales, su continuidad se deriva de la continuidad de los exponenciales.

Answer 5

¿Cómo probar que $ \ lim_ {x \ to 0} \ sin (x) = 0 $ usando la definición epsilon-delta?