La expansión de Taylor de [math] \ arcsin x [/ math] y [math] \ arctan x [/ math] puede obtenerse directamente obteniendo coeficientes de la fórmula [math] a_n = f ^ {(n)} (0) / n! [/ math], o integrando término por término la serie para [math] 1 / \ sqrt {1-x ^ 2} [/ math] y [math] 1 / (1 + x ^ 2) [/ matemáticas], respectivamente. Esto da
[matemáticas] \ arcsin x = x + \ dfrac {1} {6} x ^ 3 + \ dfrac {3} {40} x ^ 5 + \ dfrac {5} {112} x ^ 7 + \ cdots [/ math ]
[matemáticas] \ arctan x = x – \ dfrac {1} {3} x ^ 3 + \ dfrac {1} {5} x ^ 5 – \ dfrac {1} {7} x ^ 7 + \ cdots [/ math ]
Las expansiones para [math] \ sin x [/ math] y [math] \ tan x [/ math] son más conocidas:
- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ lim _ {{n} \ to {\ chi_ {i}}} (1 + 1 / n) ^ {\ chi_ {i}} [/ math]?
- ¿Por qué [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 [/ math]?
- ¿Cómo podría el cosmos físico ser infinito ya que está limitado por todos lados en el límite inferior del Big Bang y el límite superior del presente?
- ¿Por qué necesitamos usar el concepto de límites?
- ¿Cómo puedo demostrar que lim (3x ^ 2 -1) cuando x se acerca a 5 es igual a 74?
[matemáticas] \ sin x = x – \ dfrac {1} {6} x ^ 3 + \ dfrac {1} {120} x ^ 5 – \ dfrac {1} {5040} x ^ 7 + \ cdots [/ math ]
[matemáticas] \ tan x = x + \ dfrac {1} {3} x ^ 3 + \ dfrac {2} {15} x ^ 5 + \ dfrac {17} {315} x ^ 7 + \ cdots [/ math ]
Ver la serie Maclaurin; eqns. [matemática] (23) [/ matemática], [matemática] (25) [/ matemática], [matemática] (29) [/ matemática], [matemática] (30) [/ matemática]. Así
[matemáticas] \ arcsin x – \ sin x = \ dfrac {1} {3} x ^ 3 + \ dfrac {1} {15} x ^ 5 + \ cdots [/ math]
[matemáticas] \ tan x – \ arctan x = \ dfrac {2} {3} x ^ 3 – \ dfrac {1} {15} x ^ 5 + \ cdots [/ math]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ arcsin x – \ sin x} {\ tan x – \ arctan x} = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]