¿Cómo puedo calcular este límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ cos \ frac {a} {n \ sqrt {n}} \ cos \ frac {2a} {n \ sqrt {n}} \ cdots \ cos \ frac {na} {n \ sqrt {n}} [/ math]

Answer 1

Muy buena pregunta Para aquellos que quieren saltar a la respuesta [matemáticas] e ^ {- a ^ 2/6}. [/ Matemáticas]

Como muchos problemas con productos infinitos, alguna notación realmente puede ayudar.

Queremos encontrar el producto P definido por:

[matemáticas] P = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ prod_ {j = 1} ^ n \ cos \ left (\ frac {ja} {n \ sqrt n} \ right) [/ math]

Tomemos el logaritmo de ambos lados para simplificar:

[matemáticas] \ log P = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ n \ log \ cos \ left (\ frac {ja} {n \ sqrt n} \ right) [/ math]

Utilizamos la conocida serie Maclaurin:

[matemáticas] \ log \ cos x \ approx – \ frac {x ^ 2} {2} – \ frac {x ^ 4} {12} – \ frac {x ^ 6} {45} [/ matemáticas]

Para expandir la suma:

[matemáticas] \ log P = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ n – \ frac {a ^ 2j ^ 2} {2n ^ 3} + O (a ^ 4j ^ 4 / n ^ 6) [/ matemáticas]

Sabemos por sumas infinitas que [matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ {n} j ^ k = O (n ^ {k + 1}) [/ matemáticas], por lo que todos los términos de orden superior desaparecen.

Utilizando: [matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ n \ frac {j ^ 2} {n ^ 3} = 1/3 [/ matemáticas],

tenemos:

[matemáticas] \ log P = -a ^ 2/6 [/ matemáticas]

Entonces la conclusión final es que:

[matemáticas] P = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ prod_ {j = 1} ^ n \ cos \ left (\ frac {ja} {n \ sqrt n} \ right) = e ^ {- a ^ 2 / 6} [/ matemáticas]

Answer 2

Dado que todos los argumentos de los cosenos se aproximan a cero como [math] n \ to \ infty [/ math], podemos reemplazar cada coseno en el producto con solo los dos términos principales en la serie de potencia [math] \ cos x = 1 – x ^ 2/2 + O (x ^ 4) [/ matemáticas], dando

[matemáticas] \ displaystyle L \ equiv \ lim_ {n \ to \ infty} \ cos \ frac {a} {n \ sqrt n} \ cos \ frac {2a} {n \ sqrt n} \ cdots \ cos \ frac { na} {n \ sqrt n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ prod_ {j = 1} ^ n \ left (1 – \ frac {j ^ 2 a ^ 2} {2 n ^ 3} \ right )[/matemáticas].

Es más fácil lidiar con una suma en lugar de un producto, por lo que tomamos el logaritmo de [math] L [/ math]. Usando la serie [math] \ ln (1 + x) = x + O (x ^ 2) [/ math] obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ ln L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ n \ ln \ left (1 – \ frac {j ^ 2 a ^ 2} {2n ^ 3} \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ n \ left (- \ frac {j ^ 2 a ^ 2} {2n ^ 3} \ right) [/ math].

Por el conocido resultado de la suma de enteros consecutivos al cuadrado, [math] \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ nj ^ 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6 [/ math], tengo eso

[matemáticas] \ displaystyle \ ln L = – \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {a ^ 2 n (n + 1) (2n + 1)} {12 n ^ 3} = – \ frac {a ^ 2} {6} [/ matemáticas].

Concluimos que [matemáticas] L = e ^ {- a ^ 2/6} [/ matemáticas].