Cómo evaluar el límite [matemáticas] \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {1} {x ^ 3} \ left [\ left (\ frac {2+ \ cos x} {x} \ right) ^ x – 1 \ derecha] [/ matemáticas]

Answer 1

Si solo miras el término:

[matemática] {\ left (\ frac {2 + cos (x)} {x} \ right)} ^ x [/ math], puede ver que el numerador está acotado por 3. Entonces, si quisiéramos el límite de esto solo, tendríamos eso:

[matemáticas] {\ left (\ frac {2 + cos (x)} {x} \ right)} ^ x <{\ left (\ frac {3} {x} \ right)} ^ x [/ math]

Es bien sabido que [math] lim_ {x \ to \ infty} {\ left (\ frac {3} {x} \ right)} ^ x = 0 [/ math].

Después de todo, la parte inferior se acerca al infinito, mientras que la parte superior es constante. Además, elevar un número entre 0 y 1 a una potencia> 1 disminuirá el número hacia 0, y lo hará muy rápidamente.

Por lo tanto, su número entre paréntesis se acercará a -1, por lo que para x grande, este límite es:

[matemática] lim_ {x \ to \ infty} {\ left (\ frac {-1} {x ^ 3} \ right)} [/ math], que claramente es 0.

—-

Siempre que establezca un límite como este, inserte valores grandes para x en la calculadora de su teléfono inteligente, para que pueda verificar su respuesta.

Answer 2

Este límite es cero y utiliza el hecho de que cuando tomamos un límite de un producto de dos funciones, el límite será cero si el límite de una función es cero y la otra es una función acotada.

De hecho, el término

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {2+ \ cos (x)} {x} \ right) ^ x-1 [/ math]

está acotado (y en consecuencia finito).

Tenemos el limite

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x ^ 3} = 0. [/ matemáticas]

Aplicar esto a nuestro límite nos da el resultado

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x ^ 3} \ left [\ left (\ frac {2+ \ cos (x)} {x} \ right) ^ x- 1 \ right] = 0. [/ Math]

Answer 3

¿Es tarea?

Va a cero

por lo general, reescribir una expresión a como [math] e ^ {ln (a)} [/ math] facilita la evaluación de los límites.

También, como regla general, los exponenciales> polinomios> logaritmos como x va al infinito.

No puedo escribir una buena respuesta en LaTeX

Answer 4

Probar que la función dentro está acotada, por lo tanto no llegará al infinito. Luego, multiplicando finito con 0 lleva a 0.

Answer 5

(2 + cos x) <= 3
por lo tanto, (2 + cos x) / x alcanza 0 cuando x va a inf.
Y tenemos x ^ 3 en el denominador.
Por lo tanto, límite = 0.

Answer 6

Observe el comportamiento de cada parte a medida que x va al infinito: el límite tiende a cero