Cómo evaluar el límite [math] \ lim_ {n \ to \ infty} [n ^ {3} \ sin (2e \ pi n!) – 2 \ pi n ^ 2] [/ math]

Answer 1

Esta es una pregunta de tarea, así que solo daré pistas.

Recordar que
[matemáticas] e = \ frac {1} {0!} + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} +… [/ matemáticas]

Debido a que [math] sin [/ math] es [math] 2 \ pi [/ math] función periódica, solo necesitamos la parte fraccional de [math] n! e [/ matemáticas].

Entonces, el argumento de la función [math] sin [/ math] es

[matemáticas] a_n + O (n ^ {- 4}) [/ matemáticas]

donde [math] a_n [/ math] es la parte que necesitarás en los cálculos (por alguna razón, Quora no me deja hacer fracciones tan grandes, pero es
[matemáticas] \ frac {1} {n + 1} + \ frac {1} {(n + 1) (n + 2)} + [/ matemáticas] un término más)

Ahora, expanda [math] sin (a_n + O (n ^ {- 4})) [/ math] usando el teorema de Taylor alrededor de [math] 0 [/ math] y conecte la expresión original.

El término restante es de tipo [matemática] n ^ 3 O (n ^ {- 4}) = O (n ^ {- 1}) [/ matemática]
Entonces, ahora tiene que terminar el cálculo utilizando manipulaciones de fracciones estándar y al final, deje que [math] n \ to \ infty [/ math]

Si necesita una aclaración, recuérdeme en 2 semanas publicar la solución completa.

Answer 2

No, y por más de una razón:

1) [math] n! [/ Math] solo se define para enteros no negativos, mientras que los límites solo funcionan en variables continuas.

[EDITAR]
Tonto de mí. Existen límites para las secuencias (gracias Conner Davis). Aunque en realidad no son exactamente lo mismo que los límites para las funciones, sí comparten el mismo nombre y un significado amplio. De todos modos, mi segundo punto es [EDIT2] jajaja, no [EDIT2]
[/EDITAR]

Sin embargo, podría usar la función Gamma, una generalización continua del factorial. Pero el límite aún no existiría porque:

2) El límite [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sin (n) [/ matemáticas] no existe y, por lo tanto, tampoco el suyo.

[EDITAR]
Una vez más, tonto (gracias Usuario de Quora). Siendo un número entero, resulta que el argumento del seno supone un período de 2pi, anulando de facto la oscilación natural que, de lo contrario, el seno se manifestaría. Cheeky descarado alias! Para más detalles, consulte los comentarios.

Para concluir, todo lo que he dicho está mal; no me hagas caso
[/EDITAR]

Answer 3

Como descargo de responsabilidad, no he pensado mucho en esto, e incluso menos cálculo real.

Dicho esto, creo que es poco probable que exista un límite. Una forma de demostrarlo: considere solo la expresión [math] \ sin (2e \ pi n!) [/ ​​Math].

¿Hay una subsecuencia de n para la cual ese término siempre es positivo?

¿Hay una subsecuencia de n para la cual ese término siempre es negativo?

Si la respuesta es sí a ambas, entonces ya está. (¿Entiendes por qué?)