¿Cómo se puede demostrar analíticamente que el valor máximo de [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ \ ldots}}}} [/ matemáticas] (hasta el infinito) es [matemáticas] e [/ matemáticas ]?

Answer 1

Mi respuesta será muy similar a la de Henry Smith. Pero a pesar de que esta es una respuesta no rigurosa de los físicos a una pregunta matemática, me gustaría completar algunos detalles.

Considera la función
[matemáticas] f (x) = x ^ {x ^ {. ^ {. ^ {. ^ x}}}} [/ matemáticas]
y supongamos que es una función finita de un solo valor . Esto significa que nos estamos restringiendo a los valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] para las cuales [matemáticas] x ^ {x ^ {. ^ {. ^ {. ^ X}}}} [/ matemáticas] (el ” Tetración infinita “de [matemáticas] x [/ matemáticas]) tiene un límite bien definido.

En ese caso, podemos invertir [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], de la siguiente manera:

[matemáticas] y = f (x) = x ^ {x ^ {. ^ {. ^ {. ^ x}}}} = x ^ y [/ matemáticas]
implica que
[matemáticas] x = f ^ {- 1} (y) = y ^ {1 / y} ~. [/ matemáticas]

Tracemos eso en función de [math] y [/ math]:

Como puede ver, esto tiene un máximo global. Para encontrarlo analíticamente resolvemos:
[matemáticas] \ frac {d} {dy} y ^ {1 / y} = \ frac {d} {dy} \ exp {\ left (\ frac {\ log y} {y} \ right)} = y ^ {1 / y} \ frac {1 – \ log y} {y ^ 2} = 0 [/ math]
para positivo y real [matemáticas] y [/ matemáticas]. Evidentemente, la solución es [matemáticas] y = e [/ matemáticas].

Esto es suficiente para mostrar que [math] f (x) \ leq e [/ math], siempre que la función [math] f (x) [/ math] es finito y de un solo valor . Y [matemática] f (x) = e [/ matemática] corresponde, bajo ese supuesto, a [matemática] x = e ^ {1 / e} = 1.445 \ ldots [/ matemática]

Reflejar la gráfica anterior a lo largo de la diagonal [matemática] y = x [/ matemática] nos dará la gráfica para [matemática] f (x) [/ matemática]. Pero podemos hacerlo solo mientras [math] f (x) [/ math] tenga un solo valor (lo cual, para repetir, asumimos). Observe que, dado que la derivada de [math] f ^ {- 1} (y) [/ math] desaparece en [math] y = e [/ math], la derivada de [math] f (x) [/ math] diverge en [matemáticas] x = e ^ {1 / e} [/ matemáticas].

Ahora, evidentemente, esto dejará a un matemático insatisfecho, porque no hemos descubierto cuándo [math] f (x) [/ math] es realmente finito y de un solo valor. Y esta es una preocupación real, no una formalidad matemática o amabilidad. La siguiente es una gráfica de [matemática] f (x) [/ matemática] que hice numéricamente en Mathematica , tomando valores de [matemática] x [/ matemática] e iterando la exponenciación unos cientos de veces:

(Vea mi respuesta a If [math] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = 2 [/ math], entonces x =?)

Observe que para [math] 0 \ leq x <e ^ {- e} = 0.066 \ ldots [/ math] la función [math] f (x) [/ math] es finita pero no tiene un solo valor . En esa región no obtengo la segunda gráfica (ni siquiera una rama de ella) al reflejar mi primera gráfica a lo largo de la diagonal. Entonces, el razonamiento que he estado usando no es válido en ese dominio.

Para responder realmente a su pregunta, tendría que mostrar que [matemáticas] f (e ^ {1 / e}) = e [/ matemáticas] es, de hecho, el límite de la tetración infinita. Pero como físico, declaro que está más allá de mi salario (especialmente porque estoy haciendo esto gratis) …

Answer 2

En primer lugar, definamos la pregunta un poco más formalmente. Para cualquier [matemática] x [/ matemática] real, podemos considerar la secuencia donde [matemática] a_1 = x [/ matemática] y [matemática] \ forall n> 1: a_n = x ^ {a_ {n-1}} [/matemáticas]. (Aquí, [math] a_n [/ math] es el valor de una torre de energía que consiste en [math] n [/ math] ocurrencias de [math] x [/ math].) Sea [math] f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math] si ese límite existe y es finito. De lo contrario, [math] f (x) [/ math] no estará definido. Ahora estamos interesados ​​en el máximo de [math] f [/ math].

Debería ser obvio que [math] f (1) = 1 [/ math] porque toda la secuencia consiste en unos. Muchas personas creen intuitivamente que para cualquier [matemática] x> 1 [/ matemática] la secuencia diverge y, por lo tanto, [matemática] f [/ matemática] no debe estar definida, pero esto no es cierto. En realidad, [math] f [/ math] se define en el intervalo [math] [e ^ {- e}, e ^ {1 / e}] [/ math]. La prueba fue probablemente descubierta por primera vez por Euler.

No escribiré la prueba completa aquí, solo algunas partes centrales.

Suponga que [math] 1 está limitada desde arriba por [math] e [/ math]. Por inducción: Al principio tenemos [matemáticas] a_1 \ leq e ^ {1 / e} \ leq e [/ matemáticas]. Y si ya sabemos que [matemáticas] a_n \ leq e [/ matemáticas] entonces [matemáticas] a_ {n + 1} = x ^ {a_n} \ leq (e ^ {1 / e}) ^ e = e [/ matemáticas]. (Aquí utilizamos que [matemática] x ^ y [/ matemática] está aumentando tanto en [matemática] x [/ matemática] como en [matemática] y [/ matemática] para [matemática] x, y> 1 [/ matemática] .)

Además, podemos verificar fácilmente que [math] f (e ^ {1 / e}) = e [/ math] lo que lo hace el máximo en este intervalo.

---

Para una prueba completa, uno tendría que mostrar muchos resultados adicionales. Por ejemplo, para mostrar que [math] f [/ math] está realmente definido en todo el intervalo [math] (1, e ^ {1 / e}] [/ math] también debemos mostrar que para cualquier [math] ] x [/ math] la secuencia definida anteriormente no es decreciente (esto puede hacerse mediante un argumento similar al anterior, señalando que [math] x ^ a = a [/ math] resuelve a [math] a ^ {1 / a} [/ math] y, por lo tanto, para [math] 1 Y una vez que hayamos terminado con esa parte, también tendríamos que mostrar de manera similar lo que sucede en los otros intervalos, por ejemplo, que la secuencia diverge para cualquier [matemática] x> e ^ {1 / e} [/ matemáticas].

Answer 3

Suponga que [math] x [/ math] es positivo. Podemos notar que [math] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} [/ math] es una función estrictamente creciente a medida que [math] x [/ math] se hace más grande porque su derivada es positiva. Por lo tanto, el valor finito máximo de [matemática] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} [/ matemática] ocurrirá en el máximo [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} [/ math] es finito.

Deje [math] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = y [/ math], y suponga que [math] y [/ math] es finito. Entonces [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} \ ln (x) = \ ln (y) [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = y [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} \ ln (x) = y \ ln ( x) [/ math], entonces [math] y \ ln (x) = \ ln (y) [/ math]. Podemos reorganizar esto en [matemáticas] x = y ^ {1 / y} [/ matemáticas].

Ahora solo necesitamos encontrar qué valor [math] y [/ math] produce el valor máximo [math] x [/ math]. Al establecer la derivada de [matemáticas] y ^ {1 / y} [/ matemáticas] igual a cero (la derivada es desagradable, por lo que no quiero enviar mensajes de texto), encontramos que el punto crítico es [matemáticas] y = e [/ math], y usando la segunda prueba derivada, sabemos que este es un máximo. Por lo tanto, dado que [matemática] y [/ matemática] está en un máximo en y = [matemática] e [/ matemática], [matemática] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} [/ matemática] está en un máximo en [matemáticas] y = e [/ matemáticas] (y [matemáticas] x = e ^ {\ frac {1} {e}} [/ matemáticas]).

Nota: Sé que esta no es la prueba más rigurosa, pero espero que sea clara.

Answer 4

Gracias por la aclaración de Michal Forišek

Si y = x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ .. etc.
Si sigue directamente usando argumentos similares a los utilizados en la evaluación de sumas infinitas que
x ^ y = y
Por lo tanto, x = y ^ (1 / y)
Tomar registros
Ln x = 1 / y ln y
Diferenciar wrt y
1 / x dx / dy = -1 / y ^ 2. Ln y + 1 / y. 1 / a
dx / dy = x / y ^ 2. (1-ln y)
O dx / dy = y ^ (1 / y – 2). (1-ln y)
Entonces x es máximo en lny = 1
Es decir, en y = e, x = y ^ (1 / y) = e ^ (1 / e)

Answer 5

(Esta parte está mal … ver la excelente respuesta de Michal)
Creo que tal vez te equivocaste en la declaración del problema, pero no estoy seguro de cómo hacerlo funcionar. Es cierto que x ^ (1 / x) adquiere su valor máximo cuando x = e, entonces, ¿quizás quiso decir para qué valor es x ^ x ^ x … máximo? Pero esa secuencia x no converge para x> 1.

En respuesta al comentario de Ken que pensó que lo entendí bien arriba:
Hubo dos cosas que uno puede pasar por alto al pensar en esto: (1) si x> 1 la secuencia está aumentando pero aún puede converger, y (2) el operador de “potencia” no es asociativo. Entonces, por ejemplo, este pseudocódigo es incorrecto y no converge:

vec (1) = x;
para i = 1: n
vec (i + 1) = vec (i) ^ x;
fin

Mientras que este pseudocódigo refleja el significado deseado y converge:

vec (1) = x;
para i = 1: n
vec (i + 1) = x ^ vec (i);
fin

Para x = 1.1 obtenemos esta secuencia:
1.1
1.11053424105458
1.11164980002578
1.11176800150305
1.11178052653406
1.11178185373726
1.1117819943732
1.11178200927556
1.11178201085468
1.11178201102201
1.11178201103974

Answer 6

Para x> ~ 1.5 (que muestra otro póster con precisión e ^ (1 / e) o aproximadamente 1.444, la respuesta es infinita (en mi respuesta inicial, cometí un error con respecto a la precedencia del operador).