Si estás en una escuela secundaria o en un curso de cálculo universitario de primer año, entonces evalúas esto en base a una intuición deslucida. Si quiere demostrarlo formalmente, entonces necesita la definición formal del límite:
Definición: (Límite de una función en el infinito)
Llamamos [math] L [/ math] al límite de [math] f (x) [/ math] cuando [math] x [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math] si para cada número [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe una [math] \ delta [/ math] tal que siempre que [math] x> \ delta [/ math] tengamos [math] | f (x) – L | <\ epsilon [/matemáticas]. Cuando esto se mantiene, escribimos [math] \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) = L [/ math].
En este caso tenemos [math] f (x) = \ frac {1} {x} [/ math] y [math] L = 0 [/ math]. La prueba es así:
Deje que [math] \ epsilon> 0 [/ math] sea arbitrario. Luego deje que [math] \ delta = \ frac {1} {\ epsilon} [/ math]. Si [math] x> \ delta [/ math] tenemos [math] x> \ frac {1} {\ epsilon} \ Rightarrow \ frac {1} {x} <\ epsilon \ Rightarrow \ left | \ frac { 1} {x} – 0 \ derecha | <\ epsilon [/ math]. Esto satisface la definición formal, por lo que podemos decir que [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x} = 0 [/ math].
Puede parecer extraño que haya decidido qué era [math] \ delta [/ math] en mi prueba, pero ese es el punto. La definición requiere que encontremos un valor de [math] \ delta [/ math] que satisfaga la desigualdad para cualquier posible [math] \ epsilon [/ math] que se nos presente, por eso definimos [math] \ delta [ / math] en términos de [math] \ epsilon [/ math]. Entonces, todo el trabajo real para las pruebas de límite es encontrar el valor correcto de [math] \ delta [/ math]. Pero el método que utilizamos para llegar allí es irrelevante, por lo que no está incluido en la prueba. Todo lo que necesitamos es mostrar que el valor de [math] \ delta [/ math] funciona.
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- ¿Cuál es la fracción más grande de un cuadrado que puede cubrirse con círculos?
- Cómo evaluar el límite [matemáticas] \ lim_ {x \ to + \ infty} \ frac {1} {x ^ 3} \ left [\ left (\ frac {2+ \ cos x} {x} \ right) ^ x – 1 \ derecha] [/ matemáticas]
- Cómo demostrar [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ sin (x) = 0 [/ matemáticas]
- ¿Cómo puedo calcular este límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ cos \ frac {a} {n \ sqrt {n}} \ cos \ frac {2a} {n \ sqrt {n}} \ cdots \ cos \ frac {na} {n \ sqrt {n}} [/ math]
EDITAR: Natalia Nezvanova me recordó que [math] \ delta [/ math] no necesita ser integral dada mi definición, por lo que edité mi respuesta para no incluir el uso de la función de techo para hacerlo.
