¿Por qué necesitamos límites en matemáticas?

Answer 1

Supongo que el que hace la pregunta se refiere al límite de funciones y no a la limitación filosófica de las matemáticas. Me gusta la respuesta que dio Sawarnik, ya que resalta la importancia en el cálculo y me gustaría ampliar su respuesta un poco y espero proporcionar alguna motivación histórica.

La necesidad de límites no siempre es evidente, pero te daré un ejemplo clásico de los griegos. Zenón fue un filósofo que llegó a Platón con una serie de paradojas (muchas de las cuales involucraban infinitesimales). La esencia de las paradojas de Zenón es que “lo que está en movimiento debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta”. Como podemos seguir subdividiendo la distancia un número infinito de veces, uno nunca alcanzaría la meta.

Por supuesto, esto no es cierto y Aristóteles y Platón y una gran cantidad de otros tuvieron su mano en las resoluciones de la paradoja de Zenón, pero es realmente el cálculo y la introducción de límites lo que proporciona las herramientas simples de cálculo previo para manejar tal situación. Resulta que con un poco de cálculo puedes demostrar que la serie
[matemáticas] \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 +… = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {1} {2 ^ i} [/ matemáticas]
converge a uno. Tenemos muchos más ejemplos de situaciones en las que los límites juegan un papel importante en el cálculo.

El cálculo, en muchos sentidos, puede considerarse como un análisis infinitesimal que maneja fácilmente los problemas que plantea Zeno. Un infinitesimal es una cantidad indefinidamente pequeña que debe definirse formalmente. En el camino hacia la definición del infinitesimal, nuevamente, se encuentra con la necesidad del límite. Es una matemática bastante hermosa cuando te ensucias las manos con cursos de cálculo basados ​​en pruebas (por ejemplo, definición de límite (ε, δ)).

Los límites también son importantes para considerar el comportamiento de las funciones cuando sus entradas aumentan, como en el análisis asintótico. Este es el método dominante para analizar la eficiencia para analizar la eficiencia computacional o comprender cómo las pequeñas perturbaciones afectan la dinámica de los sistemas físicos.

En las palabras inmortales de Mighty Mos Def: “Los números son difíciles y reales y nunca tienen sentimientos. Pero presionas demasiado, incluso [las secuencias de] números tienen límites”.

Answer 2

Limits es solo una herramienta en matemáticas que se usa más ampliamente para resolver problemas de física en temas como transferencia de calor, mecánica de fluidos, movimiento, etc.
Muchos fenómenos físicos se expresan en forma de expresión matemática que implica términos diferenciales.
p.ej. ecuación de continuidad, ley de conducción de Fourier, etc.

Desde el punto de vista matemático, el límite es ese valor que se aproxima a una función a medida que la variable de entrada se acerca a algún valor. Ahora, considere que f es una función de valor real yc es un número real.

La expresión anterior significa que se puede hacer que f ( x ) esté tan cerca de L como se desee haciendo x lo suficientemente cerca de c.
Este es solo un ejemplo simple de cómo funciona el concepto. Se explota aún más de manera compleja mientras se resuelven problemas basados ​​en aplicaciones.

Answer 3

“¡Los límites son súper importantes porque sirven como base para las definiciones de ‘derivada’ e ‘integral’, las dos estructuras fundamentales en el cálculo! En ese contexto, los límites nos ayudan a comprender lo que significa “acercarse arbitrariamente a un punto” o “ir al infinito”. Esas ideas no son triviales, y es difícil ubicarlas en un contexto riguroso sin la noción de límite. De manera más general, el límite nos ayuda a pasar del estudio de la cantidad discreta a la cantidad continua , y eso es de suma importancia en el cálculo y las aplicaciones del cálculo “.

Para aplicar esta noción a la física (sí, me estoy alejando de las matemáticas ahora), es posible aplicar un análisis continuo al movimiento. Nos gustaría poder medir la velocidad instantánea , lo que requiere la noción de un valor instantáneo . Ahora esto depende del concepto del límite. Es decir, queremos medir una cantidad en un instante , y definimos este “instante” por un límite, es decir, como un enfoque hacia un tiempo infinitesimal. Así es como responderíamos, por ejemplo, la pregunta común “¿qué tan rápido iba en el momento x [matemáticas] x [/ matemáticas]?

La respuesta dada por el nombre ‘ coffee_table’ en el contexto ‘ejemplo simple de un límite en el mundo real’ y la fuente es Mathematics Stack Exchange

Paso mucho por la red después de recibir esta pregunta. Al leer lo anterior, espero que pueda obtener algo de luz para responder a sus consultas adicionales sobre la necesidad de límites en matemáticas .

Answer 4

Limits es una herramienta que nos permite simplificar problemas relacionados con la física.
Es extremadamente útil para responder y simplificar ciertos conceptos complicados de física.

Uno no ve el uso extensivo de los límites en los problemas en el nivel secundario o universitario.

Por ejemplo,
Considere el caso simple de una bola unida a un resorte y suspendida, ahora para calcular la energía que posee la bola o el resorte en diferentes instantes en el tiempo.

El problema anterior no ve mucho uso del límite,

Pero el problema anterior es un problema relacionado con el concepto no es del todo práctico.

Ahora, para hacerlo práctico, agregamos masa al resorte (distribución no uniforme).

Al hacer esto, hacemos que el mismo problema sea extremadamente difícil de resolver sin cálculos (límites).

Por lo tanto, se puede decir que el límite es una herramienta muy importante que necesitamos para resolver problemas prácticos de la naturaleza.

Todos y cada uno de los conceptos de física requieren límites.
Incluso en conceptos de química como la velocidad de reacción, el estado de equilibrio y muchos otros requieren límites para tener sentido.

Como dije, los límites no tienen mucho sentido cuando los problemas se generalizan y se ignoran los pequeños detalles.

Pero mientras se resuelve prácticamente donde no se pueden ignorar los pequeños detalles, los límites son una herramienta muy útil.

Si todavía tiene dudas sobre su uso, le proporcionaré ciertos problemas que aclararán el uso y la importancia de los límites.

Lo siento, no leí toda la pregunta correctamente.
La matemática en sí es una herramienta que necesitamos para resolver problemas o comprender cosas en la naturaleza.

Por lo tanto, las matemáticas en sí mismas no tienen ningún sentido práctico. Bueno, algunos temas sí, pero no todos. De manera similar, todo el cálculo no tiene ningún sentido sin la física y viceversa.

Answer 5

Los límites son una parte muy importante de las matemáticas. Entenderemos su necesidad utilizando un ejemplo simple. Considere la función f (x) = (x + 1) / (x + 2). Su gráfico se muestra a continuación.

Ahora es posible que desee dibujar su gráfico sin ninguna ayuda electrónica, entonces necesita límites. Algunas preguntas que surgen al dibujarlo son: ¿cuál será el valor de f (x) cuando x tiende al infinito o menos infinito o justo a la izquierda de x = -2, o justo a la derecha de -2. Usando límites podrá dibujar un gráfico tentativo de la función que será idéntico al gráfico anterior.

¡¡INTENTALO!! Lo encontrarás interesante y divertido.

Answer 6

En Matemáticas, encontramos funciones que no están definidas sobre un punto o sobre un rango de valores de x. Entonces, si queremos encontrar su comportamiento cerca de estos puntos (que están definidos), ¿cómo podemos hacer eso?

Por eso, se usan límites . Nos ayuda a encontrar el comportamiento de la función en el BARRIO INMEDIATO de los puntos / rango de puntos indefinidos.

También nos ayuda a definir la derivada de una función f (x), (a saber, f ‘(x)), y su continuidad en un rango de valores de x.

Estos son algunos usos de los límites en matemáticas, hasta donde yo sé.

¡¡¡Espero eso ayude!!! \ U0001f642 \ U0001f642

Answer 7

Podemos encontrar continuidad y diferenciabilidad en un punto dado usando la existencia límite

Si la función no tiene límite cerca de un punto (x = x0), entonces podemos decir directamente que la función no es continua y no es diferenciable en ese punto (x = x0).

Pero si existe un límite, debemos verificar la existencia de continuidad y diferenciabilidad de la función en ese punto dado (x = x0)

Answer 8

Para la estabilidad del sistema cuyo modelo matemático está resolviendo

Answer 9

Para tratar con los números que no están definidos. Tratar los conceptos que pueden tratarse con resolución infinita. Para tratar con la continuidad de funciones, etc.

Answer 10

[Límite (matemáticas) – Wikipedia] es bueno, ¡échale un vistazo! Límite (matemáticas) – Wikipedia

Answer 11

Una razón importante, con límites que puede definir, obtener derivados que son muy útiles.

Answer 12

cuando tiene que calcular el valor de algo que está limitado a algunos valores, usamos valores limitados desde y hacia.