¿Por qué las funciones trigonométricas básicas como SIN y COS son tan frecuentes en las ecuaciones matemáticas?

Answer 1

Una interpretación que está relacionada con las otras respuestas es que las funciones trigonométricas surgen naturalmente en el círculo (o en general, una esfera n-dimensional). Las ecuaciones paramétricas para un círculo son,

[matemáticas] x = r \ cos {\ theta}, y = r \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

Los círculos perfectos (y, en general, las esferas n-dimensionales) son completamente simétricos con respecto a su centro. La simetría circular es buena para el análisis matemático, y también surge en aproximaciones “irrazonablemente efectivas” a varios fenómenos naturales.

Como señaló Sridhar Ramesh, surge como la solución a la ecuación diferencial, [matemática] f ” = – f [/ matemática]. Esto se puede escribir como, [matemáticas] f ‘= g, g’ = -f [/ matemáticas] es decir,

[matemáticas] (f; g) ‘= (0,1; -1,0) (f; g)’ [/ matemáticas]

Ahora considere un espacio que está definido por los puntos [matemática] (f, g) [/ matemática], entonces la ecuación anterior esencialmente dice que la derivada está a lo largo de la línea perpendicular a las funciones. En general, las líneas desde el origen hasta [matemáticas] (f, g) [/ matemáticas] y [matemáticas] (f, g) ‘= (g, -f) [/ matemáticas] son’ perpendiculares ‘entre sí. Entonces,

[matemáticas] f ‘= g, g’ = -f \ Flecha derecha f’f = gf = -g’g [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow (f ^ 2 + g ^ 2) = constante [/ math]

Que es esencialmente el círculo mismo. Por lo tanto, la ecuación diferencial muestra simetría circular de esta manera.

Esta ecuación diferencial surge comúnmente en la naturaleza en varias formas:

1. Ecuación de onda electromagnética, http://en.wikipedia.org/wiki/Ele…
2. Movimiento armónico simple, http://en.wikipedia.org/wiki/Sim…
3. Ondas fluidas (viento / agua), http://en.wikipedia.org/wiki/Wat…
4. Ondas sonoras (acústicas), http://en.wikipedia.org/wiki/Aco…

Relacionado con la simetría circular está el hecho de que las funciones trigonométricas son un gran enfoque para el tratamiento matemático de las ‘oscilaciones’, es decir, fenómenos que pueden describirse en términos de patrones periódicos. El comportamiento oscilatorio de los fenómenos es, en términos generales, lo opuesto a la aleatoriedad o la disipación determinista o “explosión”. A riesgo de sonar metafísico, es tal vez la relación de las oscilaciones con una “estabilidad o status quo” poco definida lo que hace que ocurran con tanta frecuencia en las descripciones de los fenómenos naturales que observamos.

Answer 2

Permítanme hacer explícito algo que está implícito en varias otras respuestas. Las funciones SIN y COS son periódicas. Esto las convierte en funciones naturales para describir cualquier fenómeno que sea periódico, es decir, se repite exactamente cada T segundos o cada X metros. Esto también se llama simetría traslacional. Sin fricción, los resortes y los péndulos (ambos ejemplos de F ” = -constante * F, mencionado en otras respuestas) oscilan. Entonces, físicamente, cuando ve algo que se repite, intente ajustarlo con una función SIN o COS.

Una respuesta más matemática es que estas son las funciones más simples para construir un conjunto de bases ortogonales y completas. Se puede usar un conjunto de bases completo para aproximar muchas funciones en un intervalo finito como una suma de constantes de tiempo de los elementos en el conjunto de bases. Y el hecho de que los elementos en el conjunto base (SINs o COSs) sean ortogonales hace que sea más fácil encontrar las constantes y encontrar soluciones detalladas.

Answer 3

Todas las excelentes respuestas ya están aquí, pero una de las principales aplicaciones prácticas de ingeniería de Sines y Cosines son la Serie Fourier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fou …

La serie Fourier se puede utilizar para modelar matemáticamente una gran cantidad de escenarios del mundo real.