Trigonometría (matemática): ¿Es posible encontrar [matemáticas] \ sin (\ theta / 3) [/ matemáticas] cuando se le da [matemáticas] \ sin (\ theta) [/ matemáticas]?

Answer 1

Bueno, no, en el sentido de que, por ejemplo, [matemáticas] \ sin (0 ^ {\ circ}) = \ sin (360 ^ {\ circ}) = \ sin (-360 ^ {\ circ}) [/ matemáticas ], mientras que [math] \ sin (0 ^ {\ circ}) [/ math], [math] \ sin (120 ^ {\ circ}) [/ math] y [math] \ sin (-120 ^ { \ circ}) [/ math] son ​​todos diferentes.

Pero puede recuperar los (al menos 2, como máximo 3) valores correspondientes posibles de [math] \ sin (\ theta / 3) [/ math] de [math] \ sin (\ theta) [/ math] en un algebraico Moda.

Por las leyes de adición para la trigonometría, tenemos que [math] \ sin (\ theta) = 3 \ sin (\ theta / 3) – 4 \ sin (\ theta / 3) ^ 3 [/ math]. Por lo tanto, una vez que sepamos qué es [math] \ sin (\ theta) [/ math], podemos recuperar los posibles valores de [math] \ sin (\ theta / 3) [/ math] resolviendo una ecuación cúbica.

(Para lo que vale, esto equivale esencialmente a la misma tarea que la de tomar raíces cúbicas de números complejos en coordenadas rectangulares)

Answer 2

¡Sí, es muy posible encontrar el pecado (θ / 3), dado el pecado (θ)!

De una función seno, y = f (θ) = sin sin, con un dominio restringido de –π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 y un rango de -1≤ y ≤1, tenemos y podemos usar la función seno inversa , f ^ -1, que se define de la siguiente manera:

f ^ -1 (y) = θ = sin ^ -1 (y), donde -1≤ y ≤1 es el dominio, y el rango es –π / 2 ≤ θ ≤ π / 2.

θ = sen ^ -1 (y) significa: “¿Qué ángulo θ tiene un valor de función seno de y?”

Como un problema de ejemplo, deje y = ½ para que θ = sin ^ -1 (y) = sin ^ -1 (1/2). Sabemos que entre –π / 2 y π / 2, inclusive, que el ángulo π / 6 produce un valor de función seno de 1/2; por lo tanto, nuestra única solución para la ecuación θ = sin ^ -1 (1/2) es θ = π / 6.

Cuando encuentre θ, en este caso π / 6, simplemente divida θ entre 3, es decir, (π / 6) / 3, para obtener θ / 3 = π / 18 o 10⁰, y luego encuentre sin (θ / 3) = sin (π / 18) o sin 10⁰ = .1736, usando una calculadora científica de mano, o usando una tabla de valores de funciones trigonométricas para ángulos dados θ, o usando una computadora personal (PC).

Answer 3

Sí, muy fácilmente gracias a la fórmula de Euler.

Deje [math] x = sin (\ theta) [/ math], luego
[matemáticas] cos (\ theta) = \ sqrt {1 – x ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] cos (\ theta) + i.sin (\ theta) = (\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) = e ^ {i \ theta} [/ math]

Dado que una de las raíces de:
[matemáticas] (cos (\ theta) + i.sin (\ theta)) ^ {1/3} [/ matemáticas]
es
[matemáticas] (cos (\ frac {\ theta} {3}) + i.sin (\ frac {\ theta} {3})) [/ matemáticas]
tenemos:
[matemáticas] sin (\ theta / 3) = Img ((\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {1/3}) [/ matemáticas]

Eso sería:
[matemáticas] sin (\ theta / 3) = \ frac {(\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {1/3} – (\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {- 1/3}} {2.i} = \ frac {(\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {1/3} – (\ sqrt {1 – x ^ 2} – ix) ^ {1 /3}}{2.i} [/ math]

En caso de que se pregunte sobre las otras raíces:
[matemáticas] sin ((2 \ pi + \ theta) / 3) = \ frac {w. (\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {1/3} – w ^ 2. (\ sqrt { 1 – x ^ 2} – ix) ^ {1/3}} {2.i} [/ math]
y
[matemáticas] sin ((4 \ pi + \ theta) / 3) = \ frac {w ^ 2. (\ sqrt {1 – x ^ 2} + ix) ^ {1/3} – w. (\ sqrt { 1 – x ^ 2} – ix) ^ {1/3}} {2.i} [/ math]

donde [math] w = e ^ {2 \ pi.i / 3} [/ math] es la raíz cúbica de la unidad.