¿Es la geometría un subconjunto de trigonometría?

Answer 1

Los fundamentos de la trigonometría son la geometría.

Supongamos, por ejemplo, que desea definir el seno de un ángulo agudo por medio de triángulos rectángulos. (Hay otras formas de hacer las definiciones, pero elija esta).

Usted toma su ángulo, lo llama [matemáticas] A [/ matemáticas] y lo ajusta en un triángulo rectángulo [matemáticas] ABC, [/ matemáticas] uno con el ángulo recto en [matemáticas] C. [/ matemáticas] Luego desea defina [math] \ sin A [/ math] como la razón de longitudes [math] BC / AC, [/ math] pero para hacer eso, debe saber que el triángulo rectángulo particular que elija dará la misma razón que cualquier otro triángulo rectángulo daría. En particular, debe saber que las dos relaciones [matemáticas] BC / AC [/ matemáticas] y [matemáticas] B’C ‘/ AC’ [/ matemáticas] son ​​iguales.
Ese es un teorema de geometría. Los lados de triángulos similares son proporcionales.

También le gustaría saber que para cualquier ángulo [matemática] A [/ matemática] que

[matemáticas] \ sin ^ 2A + \ cos ^ 2A = 1 [/ matemáticas]

Esto se deduce directamente del teorema de Pitágoras, y eso explica por qué esa identidad trigonométrica se llama identidad de Pitágoras.

Las leyes de los senos y cosenos para triángulos oblicuos se derivan de otros teoremas de geometría al igual que las fórmulas para senos y cosenos de sumas y diferencias de ángulos, siendo este teorema el teorema de Ptolomeo.

Finalmente, las tablas de funciones trigonométricas fueron construidas por estas propiedades de funciones trigonométricas, todas basadas en teoremas de geometría.

Answer 2

Ahora David Joyce tiene razón, y me gustaría agregar algunos puntos más, para dar una idea más amplia.

Cuando hablamos de geometría, generalmente nos referimos a la geometría euclidiana (donde las líneas paralelas existen y son únicas), que es solo una pequeña parte de la geometría, las otras partes son geometría no euclidiana (donde las líneas paralelas no existen o no son único), topología (donde no existe un concepto de distancia, y se refiere a conceptos como conectividad e invariancia e interior / exterior, etc.), teoría de grafos (que se refiere a puntos y líneas que los conectan), etc.
Entonces, la geometría es un tema enorme y la geometría euclidiana es una pequeña parte de eso.

Ahora, cuando hablamos de trigonometría, generalmente nos referimos a la trigonometría básica, que se origina en esta geometría euclidiana, que tiene (1) el concepto de similitud de triángulos (cuando está escalado o ampliado), y (2) a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 Teorema de Pitágoras .
Estos dos puntos son el núcleo sobre el cual se calculan y tabulan las relaciones de los lados de los triángulos de ángulo recto (como seno y coseno y tangente) para varios ángulos. Estos valores se utilizan para encontrar longitudes desconocidas de figuras geométricas.

La historia no termina aquí: el álgebra entra aquí, y usando ángulos variables (x o y o más bien theta o alfa), derivamos fórmulas para ángulos como 2x, o x + y. También consideramos cuadrados (y potencias superiores) de las funciones trigonométricas, por ejemplo, sen ^ 2 (x) y cos ^ n (x).

Luego pasamos a la diferenciación e integración de funciones trigonométricas.
También tenemos expansión en serie de estas funciones, por ejemplo, expansión en serie Taylor y expansión de fracción continua.
Utilizamos estas funciones trigonométricas en las transformaciones de Matrix y las transformaciones de Laplace también.
Finalmente (para cerrar esta respuesta) tenemos la expansión de la serie de Fourier que usa pecado y cos. Estos están muy alejados de los orígenes geométricos de la trigonometría.

Entonces, en resumen:
la geometría no es el subconjunto de la trigonometría;
la geometría es el superconjunto de la trigonometría “básica”;
La trigonometría, que solo comienza en la geometría euclidiana, crece con álgebra y cálculo y números complejos y mucho más.
La trigonometría, a su vez, contribuye a una amplia gama de dominios matemáticos.

Existen diferentes tipos de trigonometría para la geometría no euclidiana y dimensiones más altas y polígonos, etc., por ejemplo, trigonometría de celosía y trigonometría esférica y trigonometría y poligometría hiperbólica, etc.

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De la pregunta, “me di cuenta de que muchos de los resultados de la geometría se pueden obtener por trigonometría”. . .
¡Esto se debe a que la geometría se usó para obtener los resultados de la trigonometría!

Por ejemplo, el teorema de Pitágoras a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 nos da un resultado trigonométrico sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.
¡Ahora podemos “probar” o “verificar” el teorema de Pitágoras con este resultado trigonométrico, porque se derivó del propio teorema de Pitágoras!

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