¿Cómo evalúo [math] \ int \ sqrt {\ tan x} \, dx [/ math] usando solo las técnicas básicas como la sustitución?

Answer 1

Esta es la solución detallada utilizando una técnica igual a la mencionada por Vipul Naik.
Denotar:
[matemáticas] \ displaystyle {I = \ int \ sqrt {\ mathrm {tan} x} \ mathrm {d} x} \ qquad (1) [/ math]

Deje [math] t = \ sqrt {\ mathrm {tan} x} \ Rightarrow t ^ 2 = \ mathrm {tan} x \ text {y} 2t \ mathrm {d} t = (1 + t ^ 4) \ mathrm {d} x [/ matemáticas]. Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle {I = 2 \ int \ frac {2t ^ 2} {1 + t ^ 4} \ mathrm {d} t} \ qquad (2) [/ math]

Denote: [matemáticas] \ displaystyle {f (t) = \ frac {2t ^ 2} {1 + t ^ 4}} [/ matemáticas]

Tenemos dos opciones para simplificar [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] para que sea más conveniente ser evaluado
I. Tricky:
[matemáticas] \ displaystyle {f (t) = \ frac {t ^ 2-1} {1 + t ^ 4} + \ frac {t ^ 2 + 1} {1 + t ^ 4} = \ frac {1- \ frac {1} {t ^ 2}} {t ^ 2 + \ frac {1} {t ^ 2}} + \ frac {1+ \ frac {1} {t ^ 2}} {t ^ 2 + \ frac {1} {t ^ 2}}} [/ math]

Entonces (2) se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {I = \ int \ frac {1- \ frac {1} {t ^ 2}} {t ^ 2 + \ frac {1} {t ^ 2}} \ mathrm {d} t + \ int \ frac {1+ \ frac {1} {t ^ 2}} {t ^ 2 + \ frac {1} {t ^ 2}} \ mathrm {d} t} [/ math]

Con respecto a la primera integral, aplicamos una sustitución [math] \ displaystyle {u = t + \ frac {1} {t}} [/ math] mientras que [math] \ displaystyle {u = t – \ frac {1} {t} } [/ math] se aplica para la segunda integral. Como consecuencia, la integral se reducirá significativamente y será muy fácil de evaluar. Dejamos el resto del proceso de cálculo para los lectores y, en cambio, nos centramos en una sustitución tradicional que se representará de la siguiente manera
II Uno tradicional:
[matemáticas] \ displaystyle {f (t) = \ frac {2t ^ 2} {(1 + t ^ 2) ^ 2 – 2t ^ 2} = \ frac {2t ^ 2} {(t ^ 2 – \ sqrt { 2} t + 1) (t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1)}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {= \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ frac {t} {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1} \ right] – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ frac {t} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1} \ right]} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {= \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ frac {2t- \ sqrt {2}} {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1} + \ frac {1 } {2 \ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1}} – \ left [\ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ frac {2t + \ sqrt {2}} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1} – \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1} \ right] [/ math]

Entonces
[matemáticas] \ displaystyle {I = \ int f (t) \ mathrm {d} t = \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ mathrm {ln} \ left | t ^ 2 – \ sqrt {2 } t + 1 \ derecha | – \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ mathrm {ln} \ left | t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1 \ right | + \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} t} {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1} + \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} t} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1}} [/ math]

Evaluando:
[matemáticas] \ displaystyle {I_1 = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} t} {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1} = \ frac {1} {2 } \ int \ frac {\ mathrm {d} t} {\ left (t- \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {2}}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt {2} t-1) + C_1 [/ math]

Del mismo modo, evaluar:
[matemáticas] \ displaystyle {I_2 = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} t} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt {2} t + 1) + C_2} [/ math]

Así que eso:

[matemáticas] \ displaystyle {I = \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ mathrm {ln} \ left (\ frac {t ^ 2 – \ sqrt {2} t + 1} {t ^ 2 + \ sqrt {2} t + 1} \ right) + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt {2} t-1) + \ frac {1} {\ sqrt { 2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt {2} t + 1) + C} [/ math]
donde [matemática] C = C_1 + C_2 = \ text {constante} [/ matemática] y [matemática] t ^ 2 \ pm \ sqrt {2} t + 1> 0 [/ matemática]

Sustituyendo [math] t [/ math], la solución final es:
[matemáticas] \ displaystyle {I = \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} \ mathrm {ln} \ left (\ frac {\ mathrm {tan} x – \ sqrt {2 \ mathrm {tan} x} +1} {\ mathrm {tan} x + \ sqrt {2 \ mathrm {tan} x} + 1} \ right) + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt { 2 \ mathrm {tan} x} -1) + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ mathrm {arctan} (\ sqrt {2 \ mathrm {tan} x} +1) + C} [/ math ]

Answer 2

Use la sustitución [math] u = (\ tan x) ^ {1/2} [/ math] y reduzca a una integración racional de funciones.

Entonces [matemáticas] \ tan x = u ^ 2 [/ matemáticas].

Diferenciar ambos lados y obtener:

[matemática] \ sec ^ 2 x \, dx = 2u \, du [/ matemática]

Tenemos [matemáticas] \ seg ^ 2 x = \ tan ^ 2 x + 1 = (u ^ 2) ^ 2 + 1 = u ^ 4 + 1 [/ matemáticas]. Entonces:

[matemáticas] (u ^ 4 + 1) \, dx = 2u \, du [/ matemáticas]

Así:

[matemáticas] dx = \ frac {2u \, du} {u ^ 4 + 1} [/ matemáticas]

Sustituya en la integración original y obtenga:

[matemáticas] \ int (\ tan x) ^ {1/2} \, dx = \ int u \ frac {2u \, du} {1 + u ^ 4} = \ int \ frac {2u ^ 2 \, du } {u ^ 4 + 1} [/ matemáticas]

Esta es ahora una integración racional de funciones, y se puede resolver utilizando fracciones parciales. Los factores del denominador como [matemática] (u ^ 2 – \ sqrt {2} u + 1) (u ^ 2 + \ sqrt {2} u + 1) [/ matemática] (ambos factores son cuadráticos irreductibles). deja el resto como ejercicio.

Nota: La respuesta final está aquí: integrar sqrt (tan x) – Wolfram | Alpha

Si está dispuesto a pagar o utilizar una versión de prueba gratuita de Wolfram | Alpha pro, también puede ver una solución paso a paso generada automáticamente.

Answer 3