¿Hay una prueba simple para la serie Taylor?

Answer 1

La serie de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de las derivadas de la función en un solo punto. La motivación era aproximar una función mediante el uso de un número finito de términos de series de potencia o representación polinómica de cualquier función.

Ahora, f (x) es cualquier función que puede ser representada por Power Series,

Sustitución de x = a obtenemos, f ‘(a) = C1

Sustitución de x = a obtenemos, f ” (a) = 2! C2

Sustitución de x = a obtenemos, f ” ‘(a) = 3! C3

Entonces, la forma general de coeficiente es

Por lo tanto, serie Taylor

Ahora, si expandimos la serie en origen, se llama Serie Maclaurin.

Aquí se muestran algunos GIF para visualizar lo que hacen las series de Taylor,

Polinomio de Taylor de 1 / (1 + x ^ 2)

Polinomio de Taylor de arctan (x)

Polinomio de Taylor de 1 / (1-x)

Answer 2

La serie de Taylor es fácil de derivar analíticamente, pero se necesita sutileza en el análisis para demostrar que la serie converge y es igual a las funciones.

Las series de Taylor se pueden escribir como:
[matemáticas] f (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) + \ frac {f’ ‘(a)} {2!} (xa) ^ 2 + \ cdots + \ frac {f ^ { (n)} (a)} {n!} (xa) ^ n + \ cdots [/ math]

Comenzamos con la suposición de que podemos escribir cualquier función en la vecindad de [math] x = a [/ math], dado que es continua a su alrededor, como una serie de potencia infinita:
[matemáticas] f (x) = c_0 + c_1. (xa) + c_2. (xa) ^ 2 + \ cdots + c_n. (xa) ^ n + \ cdots [/ math]

Otra suposición que debemos hacer es que [math] f (x) [/ math] es infinitamente diferenciable en [math] x = a [/ math]. Si no, la serie Taylor no puede representar esta función.

Esto está bien, ya que las matemáticas le permiten hacer suposiciones siempre que valide la hipótesis inicial o la invalide.

Ahora nos propusimos determinar [matemáticas] \ {c_0, c_1, c_2, \ cdots, c_n, \ cdots \} [/ math]
Poniendo [matemáticas] x = a [/ matemáticas], obtenemos:
[matemática] c_0 = f (a) [/ matemática], ya que todos los demás términos de la serie de potencia van a 0.

Al diferenciar las series de potencia, obtenemos:
[matemáticas] f ‘(x) = c_1 + 2.c_2. (xa) + \ cdots + n.c_n. (xa) ^ {(n-1)} + \ cdots [/ math]

Pon [math] x = a [/ math], y obtenemos:
[matemáticas] c_1 = f ‘(a) [/ matemáticas]

Como sabiamente diferenciando [matemáticas] n [/ matemáticas] veces, obtenemos:
[matemáticas] f ^ {(n)} (x) = n! .c_n + n! .c_ {n + 1}. (xa) + \ cdots [/ matemáticas]

Pon [math] x = a [/ math], y obtenemos:
[matemáticas] c_n = \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} [/ matemáticas]

Sustituyendo en la serie de potencia obtenemos:
[matemáticas] f (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) + \ frac {f’ ‘(a)} {2!} (xa) ^ 2 + \ cdots + \ frac {f ^ { (n)} (a)} {n!} (xa) ^ n + \ cdots [/ math]

Tomando a = 0, obtenemos la serie Taylor-Maclaurin:
[matemáticas] f (x) = f (0) + f ‘(0) x + \ frac {f’ ‘(0)} {2!} x ^ 2 + \ cdots + \ frac {f ^ {(n)} ( 0)} {n!} X ^ n + \ cdots [/ math]

Esta igualdad es válida solo si la serie de potencia converge.

Answer 3

Creo que te gustará esto: solo en la página y el teorema de Taylor se deriva del teorema fundamental del cálculo:

Página en csusb.edu

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