¿Cómo se puede mostrar que [matemáticas] (\ sin x) ^ 2 <\ sin (x ^ 2) [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 <x <{\ left (\ frac {\ pi} {2} \ right )} ^ {\ frac {1} {2}} [/ math]?

Answer 1

Estamos viendo la proporción
R (x) = (sin x ^ 2) / sin ^ 2 (x)
= (sin x ^ 2) / x ^ 2 / (sin (x) / x) ^ 2
= sinc (x ^ 2) / sinc ^ 2 (x)

La forma aburrida es pulir eso por diferenciación.

Pero tenga en cuenta que la función sinc (x) = (sin x) / x es positiva (0 <sinc (x) <1) y monotónica que disminuye en todas partes en (0, π) y por lo tanto en (0, √ (π / 2) )
Tenga en cuenta que √ (π / 2) ~ 1.2533 y divida el subintervalo (0, √ (π / 2)) en 0 <x <= 1 y 1 <x <√ (π / 2)

No quiero hacer la prueba por partes, pero

Para el subintervalo 1 <x <√ (π / 2) ~ 1.2533
x <x ^ 2, por lo tanto, por la propiedad decreciente monotónica tenemos
sinc (x) <sinc (x ^ 2)

Y dado que 0 <sinc (x) <1 en el intervalo abierto, tenemos directamente:
sinc ^ 2 (x) <sinc (x) <sinc (x ^ 2)

Para el subintervalo 0 <x <= 1
puede mostrar por diferenciación R (x) no tiene extremos en este intervalo (x = 0 está excluido)

Parcela de Wolfram:
(sin (x) / x) ^ 2 <sin (x ^ 2) / x ^ 2 en el intervalo 0 <x <sqrt (2 * pi)