¿Cómo se resuelve [matemáticas] 2 \ cos (\ theta- \ frac {\ pi} {3}) = \ cos (\ theta + \ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] 2 \ cos (\ theta- \ frac {\ pi} {3}) = \ cos (\ theta + \ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]

Lo sabemos,

[matemáticas] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) – \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) [/ math]

Porque,

[matemáticas] \ frac {e ^ {i \ alpha} + e ^ {- i \ alpha}} {2} \ times \ frac {e ^ {i \ beta} + e ^ {- i \ beta}} {2 } – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {e ^ {i \ alpha} -e ^ {- i \ alpha}} {2i} \ times \ frac {e ^ {i \ beta} -e ^ {- i \ beta}} {2i} [/ matemáticas]

es igual a (si calcula)

[matemáticas] \ frac {e ^ {i (\ alpha + \ beta)} + e ^ {- i (\ alpha + \ beta)}} {2} [/ matemáticas]

que es [matemáticas] cos (\ alpha + \ beta) [/ matemáticas]

y,

[matemáticas] \ cos (\ alpha- \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) [/ math]

, (utilizando la inversión de signos, [math] \ beta \ to – \ beta [/ math]).

Entonces,

[matemáticas] 2 \ cos (\ theta- \ frac {\ pi} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (\ cos (\ theta) \ cos (\ frac {\ pi} {3}) + sin (\ theta) sin (\ frac {\ pi} {3})) [/ matemáticas]

Como, [matemáticas] \ cos (\ frac {\ pi} {3}) = 0.5 = \ frac {1} {2}, \ sin (\ frac {\ pi} {3}) = \ sqrt {0.75} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (\ frac {1} {2} \ cos (\ theta) + \ frac {\ sqrt {3}} {2} sin (\ theta)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (\ theta) + \ sqrt {3} \ sin (\ theta) [/ matemáticas]

Ahora calculemos para [math] \ cos (\ theta + \ frac {\ pi} {2}) [/ math]

[matemáticas] \ cos (\ theta) cos (\ frac {\ pi} {2}) – \ sin (\ theta) sin (\ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]

Como, [matemáticas] \ cos (\ frac {\ pi} {2}) = 0, \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1, [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sin (\ theta) [/ matemáticas]

Si los graficamos, hay muchos puntos donde realmente se cruzan.

Answer 2

Para resolver esta ecuación trigonométrica condicional 2cos [θ – (π / 3)] = cos [θ + (π / 2)], comenzaremos utilizando algunas identidades trigonométricas.

Utilizando las identidades “Diferencia de dos ángulos” y “Suma de dos ángulos” para la función coseno, tenemos:

2cos [θ – (π / 3)] = cos [θ + (π / 2)]
2 [cos θ cos (π / 3) + sin θ sin (π / 3)] = cos θ cos (π / 2) – sin θ sin (π / 2)

Ahora, dado que cos (π / 3) = ½, sin (π / 3) = (3) ^ (½) / 2, cos (π / 2) = 0 y sin (π / 2) = 1, tenemos al sustituir:

2 [(cos θ) (1/2) + (sin θ) [(3) ^ (½) / 2] = (cos θ) (0) – (sin θ) (1)

Factorizando un (1/2) en el lado izquierdo:

2 (1/2) [cos θ + (sin θ) [(3) ^ (½)] = 0 – sin θ

(1) [cos θ + (sin θ) [(3) ^ (½)] = 0 – sin θ

cos θ + [(3) ^ (½)] (sin θ) = – sin θ

cos θ = – [(3) ^ (½)] (sin θ) – sin θ

Factorizando un pecado θ a la derecha, obtenemos:

cos θ = sin θ [- (3) ^ (½) – 1]

Ahora, dividiendo ambos lados por [- (3) ^ (½) – 1] y luego dividiendo por cos θ (estas acciones podrían haberse hecho a la inversa), tenemos:

sen cos / cos θ = 1 / [- (3) ^ (½) – 1]

Por la identidad del cociente: tan θ = sin θ / cos θ, tenemos al sustituir:

tan θ = 1 / [- (3) ^ (½) – 1]

Ahora, tomando la tangente inversa de ambos lados, tenemos:

θ = tanˉ¹ {1 / [- (3) ^ (½) – 1]}
θ = tanˉ¹ {- (1 / [(3) ^ (½) + 1)]}

Para ángulos en posición estándar en el plano xy, la función tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes y, en consecuencia, sabemos que el ángulo deseado θ será un ángulo del segundo y cuarto cuadrante.

Sea angle el ángulo de referencia para determinar el ángulo deseado θ en el segundo y cuarto cuadrantes; Como resultado, sabemos que tan θ = – tan (π – θʹ) = – tan (2π – θʹ) = – tan θʹ, y θ = π – θʹ y θ = 2π – θʹ en el segundo y cuarto cuadrantes, respectivamente .

Usando una calculadora TI-89 configurada en modo “radianes”, tenemos los siguientes resultados:

θʹ = tanˉ¹ {[1 / [(3) ^ (½) + 1]} = .350879 (a seis decimales); por lo tanto,
θ = 2π – θʹ o θ = π – θʹ
θ = 2π – .350879 o θ = π – .350879
θ = 5.932306 o θ = 2.790714 para 0 ° ≤ θ ≤ 2π.

Ahora, comprobando estas dos (2) posibles soluciones (θ = 5.932306 y θ = 2.790714 radianes) en la ecuación original dada, encontramos que:

1.) Para θ = 5.932306

2cos [θ – (π / 3)] = cos [θ + (π / 2)]
2cos [5.932306 – (π / 3)] = cos [5.932306 + (π / 2)]
2cos [4.885108] = cos [5.932306 + 1.570796]
2cos [4.885108] = cos [7.503102]
2 (.171862) = .343724
.343724 = .343724

2.) Para θ = 2.790714

2cos [θ – (π / 3)] = cos [θ + (π / 2)]
2cos [2.790714 – (π / 3)] = cos [2.790714 + (π / 2)]
2cos [2.790714– 1.047198] = cos [2.790714 + 1.570796]
2cos [1.743516] = cos [4.36151]
2 (-. 171862) = –.34372
–.34372 = –.34372

Por lo tanto, las dos (2) soluciones a la ecuación trigonométrica condicional original 2cos [θ – (π / 3)] = cos [θ + (π / 2)] son θ = 5.932306 radianes y 2.790714 radianes (a 6 decimales) para 0 ≤ θ ≤ 2π.

Sin embargo, dado que la función coseno es periódica, como las otras cinco funciones trigonométricas básicas, en realidad hay un número infinito de soluciones, incluidas las mencionadas anteriormente, para la ecuación dada; por lo tanto, las soluciones generales para la ecuación dada son las siguientes:

θ = 5.932306 + 2π (n) y
θ = 2.790714 + 2π (n) , donde n es cualquier número entero.

Answer 3

Use esta regla: cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin (B)
RHS: cos (θ + π / 2) = -sin (θ)
LHS: 2 cos (θ -π / 3) = 2 [sin ((θ-π / 3) + π / 2)] = 2 sin (θ + π / 6)

De Wolfram Alpha:

Answer 4

Esto se puede resolver utilizando la identidad [matemáticas] cos (a + b) = cos (a) cos (b) -sin (a) sin (b) [/ matemáticas] Por lo tanto, es posible que desee dejar de leer aquí si no ‘ No quiero que el problema se eche a perder.

[matemáticas] 2 (cos \ theta) * \ frac {1} {2} + 2sin \ theta * \ frac {\ sqrt3} {2} = 0 * cos \ theta-sin \ theta [/ math]

[matemáticas] cos \ theta + \ sqrt3 * sin \ theta = -sin \ theta [/ math]

[matemáticas] cos \ theta = – (1+ \ sqrt3) sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {1+ \ sqrt3} = \ frac {sin \ theta} {cos \ theta} = tan \ theta
[/matemáticas]

[matemáticas] \ theta = -arctan (\ frac {1} {1+ \ sqrt3}) [/ matemáticas]