¿Por qué la derivada direccional es el producto escalar del vector de gradiente y unidad?

Answer 1

Conceptualmente, porque la regla de la cadena dice que la derivada direccional se puede escribir en términos de las derivadas direccionales en las direcciones [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], es decir, en términos de las derivadas parciales

[math] \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ qquad \ frac {\ partial f} {\ partial y}. [/ math]

Rigurosamente, digamos que tenemos una función [math] f (x, y) [/ math], y arregle un punto [math] (x_0, y_0) [/ math] y un vector unitario [math] \ mathbf {u} = (u, v) [/ matemáticas]. Luego, por la definición de la derivada direccional,

[matemáticas] D _ {\ mathbf {u}} f (x_0, y_0) = \ left. \ frac {d} {dt} (f (x_0 + tu, y_0 + tv)) \ right | _ {t = 0} .[/matemáticas]

Por la regla de la cadena multivariable, esto es solo

[math] \ frac {\ partial f} {\ partial x} (x_0, y_0) \ cdot u + \ frac {\ partial f} {\ partial y} (x_0, y_0) \ cdot v, [/ math]

cual es

[matemáticas] \ nabla f (x_0, y_0) \ cdot \ mathbf {u}. [/ matemáticas]

Answer 2

El producto punto funciona como

El gradiente [math] \ nabla [/ math] apila al individuo

en un vector así que si multiplico eso por

luego puntearlos (sumarlos) juntos me da
.

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Para ver por qué esto funciona en cualquier dirección en [math] \ mathbb {E} ^ 3 [/ math] solo recuerda que la orientación [math] \ left (x, y, z \ right) [/ math] fue elegida arbitrariamente, entonces [math] y [/ math] podría haber sido una dirección que ahora parece extraña (como [math] \ left ({1 \ over 2}, {1 \ over \ sqrt {2}}, {1 \ over 2 } \ right) [/ math]) cuando se escribe como un vector unitario en el sistema de coordenadas que está utilizando actualmente. (La palabra elegante es “isomorfismo básico”).