Comience con un punto moviéndose en un círculo. El punto C se ha ofrecido para demostrar:
Piense en esto como un planeta que orbita alrededor del sol. El sol ejerce una fuerza sobre el planeta, empujándolo hacia adentro. (Si no está familiarizado con las órbitas, vea ¿Qué tan cerca debe estar un objeto de la Tierra para ser atraído por la gravedad?)
La fuerza se ve así:
y la posición (una flecha que apunta al planeta) se ve así:
Las flechas para fuerza y posición apuntan en direcciones opuestas.
Representamos la fuerza por [math] \ mathbf {f} [/ math] y la posición por [math] \ mathbf {x} [/ math]. Entonces la ecuación es
[math] \ mathbf {f} = -g \ mathbf {x} [/ math]
La constante [matemáticas] g [/ matemáticas] simplemente nos recuerda que la fuerza de la fuerza depende de la gravedad. El signo menos indica que la fuerza y la posición apuntan en direcciones opuestas.
No hay nada que impida que el planeta orbita en sentido contrario. El punto B ahora lo demuestra.
Esta es una solución a la misma ecuación porque la fuerza y la posición todavía están opuestas entre sí; ahora solo giran en sentido horario.
Eso hace dos soluciones a la ecuación. Ahora veremos una tercera solución, la que proviene de promediar las dos primeras.
El punto D juega el papel del promedio de B y C:
Con el punto C a la derecha y el punto B a la izquierda, la posición promedio está centrada, pero todavía oscila hacia arriba y hacia abajo. Este movimiento se llama movimiento sinusoidal. Por lo tanto, el movimiento sinusoidal es el promedio de dos círculos.
La fuerza sobre D es el promedio de la fuerza sobre B y C. Aquí está con las fuerzas:
Las fuerzas en B y C permanecen del mismo tamaño. Sin embargo, a veces apuntan en direcciones opuestas. Esto les permite cancelar en diferentes cantidades en diferentes momentos, por lo que la fuerza sobre D aumenta y disminuye.
La fuerza sobre D es mayor cuando está más lejos del sol (mayor [math] \ mathbf {x} [/ math]). Es cero cuando está en el sol (cero [matemática] \ mathbf {x} [/ matemática]). La fuerza todavía apunta opuesta a la posición y es proporcional a ella, por lo que D sigue la misma ecuación
[math] \ mathbf {f} = -g \ mathbf {x} [/ math]
Aunque el movimiento de D se ve bastante diferente del movimiento circular, es similar en el sentido de que proviene de la misma ecuación. Esto se llama ecuación del oscilador armónico.
Los planetas que orbitan alrededor de un sol no obedecen esta ecuación en general. Cuando van en órbitas elípticas, funcionan de manera diferente. Podemos obtener órbitas elípticas de la ecuación del oscilador armónico, pero solo se ven diferentes a las de los planetas. Aquí hay una órbita elíptica del oscilador armónico:
Para hacerlo, combiné 2 partes B y 5 partes C (y dividí todo por 7). Eso hizo la forma oblonga. Luego moví B un poco para crear la inclinación.
De la misma manera que la combinación de movimientos circulares da movimiento sinusoidal, la combinación de movimientos sinusoidales da movimiento circular. Aquí hay dos movimientos sinusoidales que, cuando se suman, dan un movimiento circular:
Una buena manera de resumir estas ideas es con la relación entre las funciones trigonométricas y los exponentes complejos. Un planeta que orbita en círculo en sentido antihorario puede representarse mediante la ecuación [math] e ^ {i \ omega t} [/ math]. Un giro en el sentido de las agujas del reloj puede representarse con [math] -e ^ {- i \ omega t} [/ math]. Promediando estos movimientos circulares, obtenemos movimiento sinusoidal, o
[matemáticas] \ frac {e ^ {i \ omega t} – e ^ {- i \ omega t}} {2} = \ sin \ omega t [/ matemáticas]
