Matemáticas: ¿Cuál es la prueba de teorema más hermosa y por qué?

Aunque hay muchas pruebas elegantes en Matemáticas, aquí estoy publicando dos de ellas.

1. Prueba por contradicción de un número infinito de números primos , que es bastante simple:

Suponga que hay un número finito de primos.
Sea G el conjunto de todos los números primos [matemáticas] P_1, P_2, P_3 … P_n [/ matemáticas]
Calcule [matemáticas] K = P_1 \ veces P_2 \ veces P_3 \ veces… \ veces P_n +1 [/ matemáticas].
Si K es primo, entonces obviamente no está en G.
De lo contrario, ninguno de sus factores primos está en G.
Conclusión: G no es el conjunto de todos los números primos.

Para más detalles uno puede mirar esto
Teorema de Euclides

2. Existen dos números irracionales x, y tal que [matemática] x ^ y [/ matemática] es racional.

Si [math] x = y = \ sqrt {2} [/ math] es un ejemplo, entonces hemos terminado; de lo contrario [math] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ math] es irracional, en cuyo caso tomar [math] x = \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ math] y [math] y = \ sqrt {2} [/ math] nos da:
[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} \ right) ^ \ sqrt {2} = \ sqrt {2} ^ \ left (\ sqrt {2} \ sqrt {2} \ right) = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

Aunque ahora tenemos el teorema de Gelfond-Schneider que implica esto.

Edición 1 : Una prueba más que es un poco geométricamente intuitiva.
En teoría de números, existe una curiosa relación entre la suma de cubos consecutivos del conjunto de números naturales y el cuadrado de la suma de los números correspondientes. Se puede expresar como:

[matemática] \ izquierda (1 + 2 + 3 +… + n \ derecha) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 +… + n ^ 3 [/ matemática] [matemática] n \ varepsilon N [ /matemáticas]

En la imagen de abajo he hecho un cuadrado de 15 por 15. Las barras en el costado y la parte inferior del cuadrado muestran que el cuadrado tiene un área igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 5. (Observe que yo han codificado por color los números). El área total del cuadrado es igual a la suma de estos números, al cuadrado (El lado izquierdo del problema). He organizado los cuadrados de estos números en el cuadrado grande. Esto deja un área para tener en cuenta.

En la siguiente imagen verás que he dividido el resto en cuadrados. Los dos rectángulos se pueden reorganizar en cuadrados.

El área total se puede escribir como se muestra.

Este es el lado derecho del problema y completa la solución.
Esto, por supuesto, es interesante porque la solución requiere un modelo de área, cuando esperaríamos un problema de volumen.

Fuente:
http://users.tru.eastlink.ca/~br…
Esta página tiene algunos problemas más interesantes que puedes ver.