¿Cuál es el ángulo formado entre las funciones: [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] en el cuadrante [matemáticas] I [/ matemáticas]?

Answer 1

Como puedes ver en el gráfico,

El ángulo entre estas dos funciones cambia constantemente. No puede calcular un ángulo en general, puede calcularlo en base a un punto, por ejemplo: desea saber qué ángulo está formado por las dos funciones en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Ok, ahora llamamos a [math] y = x ^ 2 \ rightarrow [/ math] [math] f (x) = x ^ 2 [/ math]

y [matemáticas] y = 0 \ flecha derecha [/ matemáticas] [matemáticas] g (x) = 0 [/ matemáticas]

Ahora tomamos derivadas de las dos funciones:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = \ frac {d} {dx} x ^ 2 = f ‘(x) = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} g (x) = \ frac {d} {dx} 0 = g ‘(x) = 0 [/ matemáticas]

Ahora encontramos la pendiente de las funciones en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(2) = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] g ‘(2) = 0 [/ matemáticas]

Restamos: [matemáticas] 4-0 = 4 [/ matemáticas]

Sabemos que la pendiente es la tangente del ángulo con respecto al eje x

Entonces nuestro ángulo será: [matemáticas] \ tan ^ {- 1} (4) \ aproximadamente 75.9 ° \ aproximadamente 1.325 rad [/ matemáticas]

Podemos hacer una fórmula general.

Para encontrar el ángulo entre dos funciones [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] en un punto [matemática] x = a [/ matemática].

El ángulo viene dado por [matemáticas] \ tan ^ {- 1} (f ‘(x) -g’ (x)) [/ matemáticas]

Espero que haya ayudado 🙂

Answer 2

Las otras respuestas también son correctas, pero me gustaría presentar un enfoque básico de álgebra lineal. Podemos encontrar el ángulo entre las líneas tangentes de las dos funciones en cualquier punto usando vectores para representar sus pendientes y calculando el ángulo entre ellos usando una definición del producto escalar.

Definiremos el vector [matemática] a = <1,0> [/ matemática] para representar la pendiente de [matemática] y = 0 [/ matemática], que siempre es 0. Esta definición particular de vector [matemática] a [ / math] es útil porque es todo lo que se necesita para determinar el ángulo, y los unos y los ceros se cancelan bien en este problema, como veremos más adelante.

Necesitamos definir el vector [math] b [/ math] luego como un vector con la misma pendiente que la línea tangente a [math] y = x ^ 2 [/ math] en un punto dado. [matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ 2 = 2x [/ matemáticas] por la regla de poder. Como la pendiente es [matemática] \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ matemática], la forma más fácil de representar la pendiente como un vector sería tener una componente x de 1 y una componente y de la pendiente , que es [matemática] 2x [/ matemática]. Esto significa que podemos definir el vector como [matemáticas] b = <1,2x> [/ matemáticas].

Una definición del producto escalar de dos vectores es [matemática] a • b = | a || b | \ cos (\ theta) [/ matemática] donde [matemática] \ theta [/ matemática] es el ángulo entre los dos vectores . Para encontrar [math] \ theta [/ math] entonces, podemos usar [math] \ arccos (\ frac {a • b} {| a || b |}) = \ theta [/ math]. El producto de punto se calcula sumando los productos de los componentes correspondientes de los vectores, y la magnitud de un vector viene dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Podemos utilizar esto para determinar que [math] \ theta = \ arccos (\ frac {1 * 1 + 0 * 2x} {\ sqrt {1 + 0} \ sqrt {1 + 4x ^ 2}}) [/ math] que se simplifica muy bien a [math] \ theta = \ arccos (\ frac {1} {\ sqrt {1 + 4x ^ 2}}). [/ math]

Answer 3

Tengo que adivinar a qué te refieres con la forma en que redactaste esta pregunta, pero lo intentaré:

En el plano rectangular bidimensional, [math] y = 0 [/ math] es el eje [math] x [/ math].

[matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] es una parábola que pasa por el punto [matemáticas] (0, 0) [/ matemáticas]. La pendiente de la línea tangente de la parábola en [math] (0, 0) [/ math] es [math] 0 [/ math], por lo que la línea tangente en este punto es una y la misma con [math] x [/ math] -axis [math] \ implica \ angle 0 ^ \ circ [/ math].

Tenga en cuenta que [math] (0,0) [/ math] es el único punto que las dos curvas tienen en común.

Sin embargo, al leer un poco su pregunta, se me ocurre que lo que puede estar preguntando es “¿Cuál es una expresión general para el ángulo entre la pendiente de una línea tangente en cualquier punto de la parábola y la [matemática] x [ / math] -axis, digamos en [math] x = 1 [/ math] o [math] x = 2.5 [/ math] por ejemplo “.

Para eso, necesita saber la primera derivada de [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas], que, si acepta mi palabra, es solo [matemáticas] y = 2x [/ matemáticas]. Nuevamente, digamos que queremos saber el ángulo en [matemáticas] x = 2.5 [/ matemáticas]; entonces la pendiente en este punto es [matemática] 2 \ cdot 2.5 = 5 [/ matemática] y el ángulo que esto forma con el eje [matemática] x [/ matemática] es [matemática] \ arctan {5} \ aprox 1.3734 [ / matemáticas] radianes [matemáticas] \ aproximadamente 78.69 ^ \ circ [/ matemáticas]. (Para convertir los ángulos medidos en radianes a grados, multiplique por [math] \ large \ frac {180} {\ pi} [/ math].)

Tenga en cuenta que el dominio de la parábola es [math] \ mathbb {R} [/ math], es decir, todo el eje [math] x [/ math]. En este caso, la expresión general para el ángulo (en radianes) entre cualquier línea tangente a la parábola y el eje [math] x [/ math] (para cualquier elección arbitraria de [math] x [/ math]) es [ matemáticas] \ arctan {2x} [/ matemáticas].

También tenga en cuenta que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ arctan {2x} = \ frac {\ pi} {2} \ approx1.5708 \ text {radians}. [/ Math]

Answer 4

0 grados, los ángulos entre dos curvas es el ángulo entre las dos tangentes de las curvas en el punto de intersección, ya que el punto de intersección y = x ^ 2 e y = 0 es (0,0) es decir, origen, la tangente de y = x ^ 2 en el origen es y = 0 en sí mismo.