¿Cuántos poliedros de seis lados hay donde todas las caras tienen la misma forma?

Hay tanto infinitos trapezoedros trigonales simétricos diferentes como infinitos trapezoedros trigonales asimétricos.

Puedes construir un trapezoedro trigonal simétrico a partir de seis rombos congruentes. El ángulo agudo del rombo puede ser cualquier ángulo. Cuando es un ángulo recto, obtienes un cubo.

Por lo tanto, hay infinitos trapezoedros trigonales simétricos no similares.

Además de los simétricos, también hay asimétricos. A continuación puede ver seis cuadriláteros convexos congruentes. Dos lados adyacentes del cuadrilátero tienen que tener la misma longitud, pero ese es el único requisito. Imprime y recorta la figura y dobla a lo largo de las líneas. Pega los lados y obtendrás un trapezoedro trigonal asimétrico.

Aunque no es tan simétrico como el anterior, todavía hay algunas simetrías. Cuando tres bordes etiquetados como b se encuentran, hay una simetría rotacional de 120 °. También hay simetrías rotacionales de 180 ° en los puntos medios de los bordes etiquetados ay c. Lo que eso significa es que este sólido puede usarse como un dado justo. Hay un video en youtube que describe estos dados sesgados.

El trapezoedro triangular, como sospechas, es topológicamente equivalente a un cubo.

También está la dipirámide triangular. Las caras son triángulos isósceles idénticos.