¿Por qué los límites infinitos de una función racional con polinomios tanto en el numerador como en el denominador se acercan exclusivamente al límite de sus términos más grandes?

Answer 1

Puedes verlo con bastante claridad si solo ingresas un número, como mil millones.

El numerador es algo así como 4 * (mil millones) ^ 5 + (algunas cosas que son realmente pequeñas en comparación con 4 * (mil millones) ^ 5). El denominador es, de manera similar, 6 * (mil millones) ^ 5 + (algunas cosas que son realmente pequeñas en comparación con eso). El término polinomial “más grande” explota de manera mucho más rápida, lo que da como resultado el hecho de que, para x suficientemente grande, la razón de los números es la razón de los términos más grandes.

Es especialmente fácil ver si divide la fracción entre x ^ 5:
[matemáticas] \ frac {4x ^ {5} -3x ^ {2} + 3} {6x ^ {5} -100x ^ {2} -10} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {4 – 3x ^ {- 3} + 3x ^ {- 5}} {6 – 100x ^ {- 3} – 10x ^ {- 5}} [/ matemáticas].

¿Eres cómodo con la idea de que [matemáticas] \ infty ^ {- 1} \ aprox 0 [/ matemáticas]? Si es así, está bastante claro: a medida que x se hace más grande, la relación se vuelve muy, muy cercana a [matemáticas] \ frac {4} {6} [/ matemáticas], y si x es ‘realmente’ infinito (o en el límite como x se aproxima al infinito) todos los demás términos caen.