¿Cuál es la mejor manera de explicar la definición de límite [matemática] \ epsilon- \ delta [/ matemática] en cálculo?

Answer 1

La definición de límites [cálculo] \ epsilon- \ delta [/ cálculo] en cálculo tiene una advertencia: el límite solo puede evaluarse en un punto límite. Un punto [matemático] p [/ matemático] en un espacio métrico [matemático] X [/ matemático] es un punto límite a un subespacio [matemático] E [/ matemático] de [matemático] X [/ matemático] si cada bola abierta [matemática] B_ {r} (p) [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] centrada en [matemática] p [/ matemática] tiene una intersección no vacía con [matemática] E- \ {p \} [/matemáticas]. En el contexto del análisis real, lo que esto esencialmente significa es que un punto límite a un subconjunto de reales puede ser abordado por puntos en ese subconjunto (aparte de sí mismo, si pertenece al subconjunto) tan cerca como se desee. En la definición [math] \ epsilon- \ delta [/ math], la formulación [math] | xa | <\ epsilon [/ math], donde el límite se evaluará en [math] a [/ math], puede se puede ver fácilmente que está diseñado para 'igualar' este concepto de bola abierta.

Esta motivación de un punto límite permite comprender fácilmente el concepto de límites de funciones que tienen dominios “patológicos”. Por ejemplo, la función [math] f: (1,2) \ rightarrow \ mathbf {R} [/ math] definida por [math] f (x) = x ^ {2} [/ math] claramente tiene un límite de [math] 4 [/ math] como [math] x \ rightarrow 2 [/ math], y [math] 1 [/ math] como [math] x \ rightarrow 1 [/ math]. Pero, en lugar de [math] (1,2) [/ math], si hubiéramos tomado como dominio, digamos, el conjunto de todos los números racionales entre [math] 1 [/ math] y [math] 2 [/ math] , los límites de [math] f [/ math] seguirían siendo los mismos. Claramente, no tenemos problemas para envolver nuestras cabezas alrededor de tales dominios ‘no suaves’ que tienen un límite, si vemos que todo lo que nuestra definición requiere es ‘accesibilidad’ al límite. Esta exposición gradual a las nociones no geométricas de cálculo es (como he encontrado) bastante relevante si uno quiere estudiar matemáticas superiores. Además, esta definición de límites, cuando se limita a definir la continuidad de una función en un punto, es equivalente a la definición de continuidad de los conjuntos abiertos: las imágenes inversas de los subconjuntos abiertos de la imagen están abiertas.

Mucho sobre el dominio. Ahora sobre el rango. Redactamos la definición de tal manera que tengamos el poder de seleccionar [math] \ delta [/ math] como lo deseemos. La ‘intención’ detrás de esto es, como antes, permitirnos relacionarnos fácilmente con nuestra noción intuitiva de continuo: uno debería ser capaz de acercar [matemática] f (x) [/ matemática] a [matemática] L [/ matemática] como se desee, y este conjunto de valores de [matemática] f [/ matemática] debe tener una imagen inversa, algunos subconjuntos de los cuales se agrupan de forma finita alrededor de [matemática] x = a [/ matemática]. No tratamos de exigir que toda la imagen inversa tenga que estar en un límite bien definido, porque eso obviamente haría que cualquier función no monotónica no sea continua. Además, [math] f [/ math] es una función, lo que significa que un elemento en el dominio puede mapearse a un solo elemento en el rango. Este hecho, junto con nuestra afirmación de que debe existir un subconjunto de la imagen inversa (llamemos a este subconjunto [matemática] S [/ matemática]), significa que todos los elementos en [matemática] S [/ matemática] deben mapearse para ser [ math] \ delta [/ math] -cierre a [math] L [/ math]. Esto captura completamente nuestra imagen geométrica de un límite: podemos hacer que [matemática] f (x) [/ matemática] esté lo más cerca posible de [matemática] L [/ matemática], y en consecuencia habrá algún subconjunto de dominio abierto en el dominio de modo que todos los elementos en ese mapa establecido estén dentro de [math] \ delta [/ math] cerca de [math] L [/ math]. No nos interesan otros elementos similares de la imagen previa, ya que encontrar un límite es local propiedad; Por esta definición, nos aseguramos de que no habrá saltos o picos arbitrarios en el valor de [math] f [/ math].

Answer 2

Richard Koch, quien fue, con mucho, el mejor profesor de matemáticas que he tenido, explicó las pruebas (ε, δ) en sus conferencias de análisis elemental con gran entusiasmo como una batalla imaginaria entre usted y el diablo.

Por ejemplo, así es como podría ser para una prueba (ε, δ) de que lim f ( x ) = L cuando x se acerca a c : El diablo te reta con un valor para ε. El diablo apuesta que no puedes garantizar eso | f ( x ) – L | siempre será menor que su valor de ε para todas las x cercanas a c . Estás a la altura del desafío. Puedes vencer al diablo solo encontrando tu δ particular que marca la diferencia | f ( x ) – L | más pequeño que su ε siempre que | x – c | es menor que tu δ. Después de un poco de ingenio, se te ocurre triunfalmente tu valor para δ, y el diablo huye derrotado.

Answer 3

Considere las dos funciones:

[matemáticas] f (x) = \ frac {\ sin (x)} {x} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] g (x) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Ninguna de estas funciones se define en x = 0. Pero a pesar de esto, observando los gráficos vemos claramente que f (x) se “comporta mejor” en algún sentido en x = 0:

Hablando intuitivamente, la función f (x) “se acerca” 1 como x “se acerca” 0. Esta es nuestra idea intuitiva de lo que significa decir

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} f (x) = 1 [/ matemáticas]

Entonces, ¿cómo se conecta esta idea intuitiva con la definición formal? Considere brevemente lo que podría significar para la función “acercarse” a un valor. Propondré una idea un poco más específica, que debes acordar con la intuición:

Decimos que la función f (x) tiene un límite de 1 cuando se acerca a x = 0 porque a medida que te acercas más y más a x = 0, f (x) se acerca cada vez más a 1.

Sin embargo, esto claramente no es lo suficientemente específico. La función también se está acercando cada vez más a 1.5, y 2, y 3, ¡ya que está debajo de ellos y está creciendo! Pero solo se está “acercando” realmente 1. Entonces, la idea es que, en lugar de simplemente requerir que nuestra función se acerque cada vez más a su límite a medida que x se acerca y se acerca a algún valor, requerimos que podamos hacer que la función se cierre arbitrariamente.

Esto nos da una declaración informal de la definición de un límite:

Decimos que una función h (x) tiene un límite de L cuando x se acerca a a, si podemos hacer que h (x) esté tan cerca de L como queramos al elegir x lo suficientemente cerca de a. Específicamente, queremos encontrar una región alrededor de (a) donde f (x) sea siempre menor que alguna distancia elegida de L.

Entonces volvamos a visitar f (x) = sin (x) / x. Cuando decimos eso

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} f (x) = 1 [/ matemáticas]

lo que queremos decir es que, si elegimos cualquier “distancia” de 1 (llamaremos a eso [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas], podemos encontrar alguna región cerca del eje y donde [matemáticas] | f (x) – L | <\ epsilon [/ math]. Entonces, por ejemplo, hay un intervalo (-a, a) en el que nuestra función siempre está dentro de 0.01 de 1. Y otro intervalo (-b, b) en el que nuestra función siempre está dentro de 0.001 de 1. Y así sucesivamente.

¿Qué significa encontrar una región alrededor de (a) donde f (x) tenga alguna propiedad? Es lo mismo que encontrar algún valor [math] \ delta [/ math] tal que la propiedad sea verdadera siempre que [math] | x – a | <\ delta [/ math] .

Entonces, para recapitular: Para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math], podemos encontrar algunos [math] \ delta [/ math] de modo que , si x está dentro de la distancia [math] \ delta [/ math] de a, entonces f (x) está dentro de la distancia [math] \ epsilon [/ math] de L.

Espero que sea de alguna ayuda …

Answer 4

Una manera sencilla de pensar sobre este concepto de límite es imaginarlo a través de su aplicación más práctica: calcular el error.

Digamos que tiene una regla que mide en milímetros pero tiene un error de +/- 0.5 mm. Puedes pensar en 0.5 como tu delta. El problema es que su regla es muy pequeña y mide solo hasta un pie. Quieres medir tres pies de largo. Hay 25.4 mm en una pulgada, lo que resulta en 914.4 mm en tres pies. Sin embargo, su error también se multiplica por 3 (una vez para cada medición), por lo que su medición real es 914.4 +/- 1.5 mm. En este caso 1,5 mm es su épsilon.

Ahora, piense en todo este evento como una función, donde el límite que desea encontrar, L, es 914.4, el número de milímetros en tres pies. Puede pensar en 3 como su valor x (a menudo representado por a, el valor al que se acerca x). Para cada delta correspondiente (0.5), existe un épsilon (1.5) que nos ayuda a encontrar el límite.

En caso de que los puntos aún no se conecten, imagine que tiene un montón de reglas que son aún más precisas que con las que midió. Suponga que tiene una regla con un error de solo 0.01, entonces su medición final sería 914.4 +/- 0.03, y se sentiría bastante seguro al decir que hay 914.4 mm en tres pies, ¡y habría encontrado su límite!

Este concepto se explica visualmente en nuestra guía de estudio de cálculo, ¡búscanos! Estaremos encantados de ayudarte.

Answer 5

Supongamos por un momento que eres un asesino y que estás contratado para un asesinato.

El objetivo está en una habitación dentro de un edificio y debes matarlo con un solo disparo desde el lugar seguro en el suelo.
Observa el objetivo de cerca durante 1 o 2 días y aprende que cada noche el objetivo entra a su balcón y permanece allí durante 10 minutos. Puedes dispararle fácilmente en ese momento. Un objetivo estable. Pedazo de pastel
Pero hay un pequeño inconveniente. La persona que te ha contratado es una persona muy rara. Él quiere que le des al objetivo exactamente en el medio de la frente. Desde el suelo. De demasiada distancia. Un trabajo difícil de hecho.
Pero sucede que de hecho has aprendido un poco de matemática antes de convertirte en un asesino. Se rasca la cabeza, garabatea en un papel o dos y deduce que si un francotirador está inclinado en un ángulo de, digamos, la raíz cúbica de 10000, ciertamente puede dar en el blanco en la frente.
Pero habiendo resuelto un problema, te has topado con un problema diferente. La raíz cúbica de 10000 es un número irracional. Y no importa cuán preciso sea el instrumento que quiera usar, nunca podrá apuntar su arma en ese ángulo exacto.

Pero aún puede convencer a la persona que lo contrató, de que sigue siendo el mejor hombre para el trabajo.

Te acercas a él y le dices de la mejor manera posible, que no solo tú, nadie puede apuntar el arma en ese ángulo exacto. Pero esto es lo que todos no pueden hacer, pero tú puedes.

Supongamos que el centro de la frente del objetivo está a una distancia L del suelo. Le dices a tu jefe que te dé un valor de tolerancia. Llamémoslo un ‘épsilon’. Le dices que puede dar el menor valor de ‘épsilon’ que quiera. Le dices que tienes un conjunto de transportadores especiales llamados ‘delta’. Y le garantizas que alcanzarás el objetivo dentro de esa tolerancia usando un transportador especial llamado ‘delta’.
Ahora la elección de ‘delta’ depende de qué es épsilon. Si ‘épsilon’ es realmente muy pequeño, necesitará un ‘delta’ muy preciso, mientras que si el valor de ‘épsilon’ es mayor, un ‘delta’ crudo servirá. El hecho importante aquí es la EXISTENCIA del delta. A tu jefe no le importa cómo lo haces. Él solo está obligado a darle un ‘épsilon’. Su trabajo es seleccionar un ‘delta’ apropiado para terminar un trabajo con esa precisión ‘epsilon’.

Ahora, ¿qué hace exactamente este transportador?

Supongamos que usó un ‘delta’ apropiado para un ‘épsilon’ dado. Ahora su transportador se aseguró de que el ángulo en el que se establece su arma es más o menos en ‘delta’ que el ángulo deseado (la raíz cúbica de 10000). No sabes exactamente en qué valor está configurada la pistola. No necesitas hacerlo. Lo que sabe es que el error máximo para este transportador delta es ‘delta’ y cualquier valor de ángulo dentro de esta precisión debería hacer el trabajo. ¡Contrarrestas ‘epsilon’ con un ‘delta’!
Y chicos, este es el límite. Hablemos un poco de matemática aquí. Supongamos que x es el ángulo en el que se establece su arma. F (x) es una función de x, cuyo valor le indica una distancia desde el suelo, en el que la bala impactará el edificio. Supongamos que ‘c’ es el ángulo deseado. La raíz cúbica de 10000. Y deje que L sea la distancia de la frente del objetivo desde el suelo.

Ahora, lea cuidadosamente.

Decimos, como x tiende a c, el límite de F (x) es L, si,
por cada épsilon proporcionado por nuestro jefe, existe un ‘delta’,
tal que
por cada x entre (c- delta) a (c + delta),
la diferencia positiva entre F (x) y L,
es menos que épsilon!
¡Y estás contratado!

Answer 6

Tratemos de pensar en la definición intuitivamente. Digamos que tenemos alguna función, [matemática] f (x) [/ matemática] que se acerca a algún valor [matemática] A [/ matemática]. Entonces podemos tomar algunos [math] \ epsilon \> \ 0 [/ math] y decir que el “rango” en el que [math] f (x) [/ math] puede existir a medida que se acerca a este valor [math] A [/ math] como [math] A \ + \ \ epsilon [/ math] y [math] A \ – \ \ epsilon [/ math]. Si hemos especificado esto [math] \ epsilon [/ math], esto significa que podemos encontrar algunos [math] \ delta [/ math] donde actúa casi como un rango para valores de [math] x [/ math], a medida que se acerca a algún valor en el eje [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], a medida que la función se acerca a [matemáticas] A [/ matemáticas]. Podemos denotar este rango como [math] b \ + \ \ delta [/ math] y [math] b \ – \ \ delta [/ math]. Entonces podemos decir que [math] f (x) [/ math] y [math] x [/ math] están dentro de ese rango, y que por cada [math] \ epsilon \> \ 0 [/ math] existe alguna [matemáticas] \ delta \> \ 0 [/ matemáticas]. Podemos decir esto diciendo:

[matemáticas] | f (x) \ – \ A | \ <\ \ epsilon [/ math] y [math] | x \ - \ b | \ <\ \ delta [/ math]

La mejor manera de pensar en esto es decir que a medida que hacemos [math] \ epsilon [/ math] cada vez más pequeño, el límite se vuelve más preciso y la desviación de que [math] f (x) [/ math] puede existir [matemáticas] A [/ matemáticas] se vuelve cada vez más pequeño. También podemos encontrar algunos [math] \ delta \> \ 0 [/ math], donde casi podemos tratar de encontrar algunos delta, basados ​​en el épsilon. Si ingresamos valores de funciones en estas ecuaciones, podemos mostrar una relación entre épsilon y delta, y podemos demostrar un límite al hacer esto.

Esta es la definición más básica de los límites de épsilon-delta, pero podemos generalizar esto aún más, definiendo la convergencia a un cierto valor diciendo:

[matemática] n \ <\ N \ \ in \ \ mathbb {N} [/ matemática], donde podemos decir que tenemos [matemática] x_n [/ matemática] que denota una serie que converge hacia un cierto valor, y podemos cambie [math] N [/ math] para hacer esto más preciso, y la serie continúa convergiendo hacia algún valor, [math] x_0 [/ math].

Answer 7

En realidad, esta definición de límite épsilon-delta es una de las definiciones más elegantes y creativas en matemáticas. Los siguientes ejemplos pueden proporcionar alguna motivación para este tipo de definición.

Supongamos que deseo afirmar que puedo especificar el mayor entero positivo finito. Pero solo puedo hacerlo en un sentido relativo. Entonces diré: “Dame un número entero positivo P, tan grande como quieras, y te daré un número entero finito mayor que P.” O supongamos que deseo afirmar que puedo especificar el número real positivo más pequeño. Una vez más, diré: “Dame un número real positivo R tan pequeño como quieras, y te daré un número real positivo menor que R.” En otras palabras, puedo especificar un número real arbitrariamente cercano a cero o, quizás lo más importante, tan cercano a cero como desee .

Ahora, en caso de límite, tenemos una función f (x), y el límite de f (x) como x -> c es L.

Aquí no puedo hacer f (x) = L exactamente, pero afirmo que puedo tomar f (x) arbitrariamente cerca de L. ¿Qué tan cerca está lo suficientemente cerca? Te dejo decidir. Puede decir que le gustaría que f (x) esté a menos de épsilon de L (donde épsilon es un número pequeño). Ahora, a diferencia de los ejemplos anteriores, no puedo elegir el valor de f (x) directamente. La única forma de influir en el valor de f (x) es eligiendo el valor de x. Así que digo: “Siempre que elijamos un valor de x que sea menor que delta de c, podemos garantizar que el valor de f (x) será menor que épsilon de L.”

La belleza de esta definición bastante simple de límite radica en el hecho de que también es matemáticamente rigurosa. Sin embargo, tengo que admitir que cuando vi esta definición en mi clase de cálculo por primera vez, no estaba muy entusiasmado con eso.

Answer 8

Intuitivamente, desea que la definición de [matemática] \ lim_ {x \ to c} f (x) = L [/ matemática] signifique que a medida que [matemática] x [/ matemática] se acerque a [matemática] c [/ math], que [math] f (x) [/ math] se “acerca” a [math] L [/ math]. La definición del límite [matemática] \ varepsilon, \ delta [/ matemática] explica rigurosamente cuán “cercano” tienes que estar.

Veamos la definición: [matemática] \ forall \ varepsilon> 0 [/ matemática], existe una [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemática] 0 <| xc | <\ delta [/ matemática ] implica [matemáticas] | f (x) -L | <\ varepsilon [/ matemáticas].

La parte, [matemática] | f (x) -L | <\ varepsilon [/ matemática], es lo que significa que [matemática] f (x) [/ matemática] esté cerca de [matemática] L [/ matemática] . Necesita [math] f (x) [/ math] para estar dentro de [math] \ varepsilon [/ math] de [math] L [/ math]. ¿Qué es esto [matemáticas] \ varepsilon [/ matemáticas]? Es cualquier real positivo que quieras. Puedes pensarlo como un juego. Digamos que reclamo, [math] \ lim_ {x \ to c} f (x) = L [/ math]. Me retan a que demuestre que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] se acerca mucho a [matemáticas] L [/ matemáticas] cerca de [matemáticas] x = c [/ matemáticas]; digamos que me reta a mostrar que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] se encuentra dentro de [matemáticas] 0.01 [/ matemáticas] de [matemáticas] L [/ matemáticas]. Luego le doy algún valor [math] \ delta> 0 [/ math], y afirmo que si [math] x [/ math] está dentro de [math] \ delta [/ math] de [math] c [/ math ] (pero [matemática] x \ ne c [/ matemática], de ahí la estricta desigualdad [matemática] 0 <| xc | [/ matemática]), entonces [matemática] f (x) [/ matemática] está dentro de [matemática] \ varepsilon [/ math] de [math] L [/ math]. Ahora dices ok y me retas a que demuestre que [math] f (x) [/ math] entra, digamos, [math] 0.00000001 [/ math] de [math] L [/ math]. Respondo de nuevo con un valor (posiblemente menor) de [math] \ delta [/ math], y afirmo que si [math] x [/ math] está dentro de [math] \ delta [/ math] de [math] c [ / math], entonces [math] f (x) [/ math] está dentro de [math] 0.00000001 [/ math] de [math] L [/ math]. Si se me ocurre algo de [matemática] \ delta [/ matemática] por cada [matemática] \ varepsilon> 0 [/ matemática] que elija, entonces el límite existe. Es decir, para cualquier [math] \ varepsilon> 0 [/ math] que especifique, puedo elegir [math] \ delta> 0 [/ math] para que si [math] x \ ne c [/ math] esté dentro [matemática] \ delta [/ matemática] de [matemática] c [/ matemática] (es decir, [matemática] 0 <| xc | <\ delta [/ matemática]), entonces [matemática] f (x) [/ matemática] es dentro de [math] \ varepsilon [/ math] de [math] L [/ math] (es decir, [math] | f (x) -L | <\ varepsilon [/ math]).