¿Cuál es la raíz cuadrada del infinito?

El infinito intuitivo , [math] \ infty [/ math], realmente no tiene una raíz cuadrada porque ni ella ni la multiplicación están suficientemente bien definidas para que exista una entidad, [math] x [/ math], de modo que

[matemáticas] x ^ 2 = x \ veces x = \ infty [/ matemáticas]

Por otro lado, hay infinitos cardinales perfectamente bien definidos, [math] \ kappa [/ math], todos los cuales tienen la propiedad que

[matemáticas] \ kappa \ times \ kappa = \ kappa \ Rightarrow \ sqrt {\ kappa} = \ kappa [/ math]

En particular para el cardenal transfinito más pequeño, [math] \ aleph_0 [/ math], la cardinalidad de los números naturales ([math] 0,1,2,3, \ dotsc [/ math]), tenemos [math] \ sqrt {\ aleph_0} = \ aleph_0 [/ math].

En el dominio de los números surrealistas hay muchos infinitos distintos, incluido uno correspondiente al ordinal transfinito más pequeño, [math] \ omega [/ math], y operadores de suma, resta y multiplicación bien definidos de manera que:

[matemáticas] \ omega-1 <\ omega <\ omega + 1 <2 \ omega [/ matemáticas]

En este dominio, las raíces cuadradas también son números surrealistas únicos bien definidos, tales como:

[matemáticas] \ sqrt {\ omega} <\ sqrt {\ omega + 1} <\ omega-n [/ matemáticas]

para cualquier número finito (surrealista) [matemáticas] n [/ matemáticas].

La conclusión es que debes seguir la Regla del Infinito de Bustany :

La intuición y el infinito no se mezclan

Depende de qué infinito. Creo que el surrealista [matemáticas] \ omega [/ matemáticas] tiene una raíz cuadrada. El ordinal [math] \ omega [/ math] no lo hace. Por otro lado, para cualquier cardenal infinito [math] \ kappa [/ math], [math] \ kappa \ times \ kappa = \ kappa [/ math]. Entonces, si te refieres a un infinito cardinal, entonces la “raíz cuadrada del infinito” es “infinito”.

Permítanme intentar consolidar todas estas respuestas de una manera que pueda tener sentido para alguien que ya no las conocería todas.

Cuando comenzamos a pensar en números, claramente tenemos números como 1, 2, 3, 4, etc. Podemos multiplicar por suma repetida, por lo que 3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 9, y podemos decir: “La raíz cuadrada de 9 es 3.”

Por otro lado, si preguntamos por la raíz cuadrada de 3, estaríamos en problemas: no hay un número entero que podamos cuadrar para obtener tres. Sin embargo, el número parece tener cierta importancia geométrica: si hacemos un triángulo rectángulo con la hipotenusa de longitud 2 y un tramo de longitud 1, entonces la otra longitud “debería” tener longitud [math] \ sqrt {3} [/ math ] por el teorema de Pitágoras.

Sin embargo, para llegar a un sistema en el que esto tenga sentido, tenemos que inventar un montón de nuevos tipos de números, primero agregando números cero y negativos *, y luego agregando fracciones. El conjunto que tenemos ahora, fracciones de enteros, se llama el conjunto de “números racionales”. (Otra palabra para una fracción es una razón).

Todavía no tenemos nada que pueda llamarse [math] \ sqrt {3} [/ math] allí todavía; no puede obtenerlo dividiendo dos enteros, por lo que necesitamos agregar algunas cosas más. El ” los números reales “ahora ** se construyen” rellenando los huecos “entre los números racionales, en un sentido que tomó varios cientos de años para ser precisos (pero que ahora se enseña rutinariamente a estudiantes de matemáticas de todo el mundo).

Hasta este punto, realmente no hay otras opciones razonables para los sistemas de números. *** Cuando preguntas sobre la raíz cuadrada de 3, se da a entender que estás preguntando sobre esto en números reales o en algún sistema más grande. que al menos contiene los números reales, porque no hay otra opción razonable.

Ahora que tenemos todos estos números, y las técnicas circundantes que usamos para construirlos, podemos hablar razonablemente de cosas como las series infinitas

[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ ldots, [/ matemáticas]

que es igual a 2 en cualquier sistema razonable. Al notar esto, también podemos preguntar sobre algo como 1 + 1 + 1 + …, que “debería ser” igual al infinito. Aprendiendo de nuestra experiencia en los casos anteriores, deberíamos tratar de descubrir cómo agregar infinito a nuestro sistema de números, junto con cualquier otra cosa que necesite.

Desafortunadamente, no tenemos la misma suerte aquí que en las situaciones anteriores: no parece haber una “forma correcta” de hacerlo. Aquí hay algunos métodos, cada uno de los cuales es útil en alguna situación particular, y la mayoría de los cuales son completamente incompatibles entre sí:

  • Podemos tomar la compactación de un punto de la línea real, convirtiendo nuestro sistema de números en un círculo donde los números negativos y positivos se encuentran en su infinito compartido. Si hacemos esto a los números complejos, entonces obtenemos la esfera de Riemann, y los números reales compactos forman un círculo en esta esfera. Esto también es equivalente a formar el espacio proyectivo unidimensional.
  • Podemos agregar [math] + \ infty [/ math] y [math] – \ infty [/ math] como números separados, convirtiendo la línea real en un segmento de línea. El resultado es el conjunto de “reales extendidos”. Si queremos hacer esto a todos los números complejos, agregamos un “Infinito complejo” en todos los ángulos posibles, convirtiendo los números complejos en un disco cerrado, del cual los reales extendidos forman un diámetro.
  • Podemos realizar varias construcciones más abstractas, produciendo, por ejemplo, los “números surrealistas”, que contienen varios “números infinitos” diferentes.

También hay otras opciones disponibles. Cuando preguntamos acerca de la “raíz cuadrada de 3”, teníamos un buen punto de referencia predeterminado: estábamos pidiendo implícitamente una raíz cuadrada en los números reales (o complejos). Cuando preguntamos por la “raíz cuadrada del infinito”, por otro lado, hay varias maneras diferentes en que uno podría interpretar esa declaración, ninguna de las cuales está más establecida que ninguna otra. Obtenemos diferentes respuestas dependiendo de la interpretación.

* Este paso no es estrictamente necesario, pero no hay nombres aceptados para las cosas que estaríamos construyendo si lo omitiéramos, y si estás trabajando sin al menos tener un cero, entonces estás en una desventaja grave.

** Un enfoque sería construir los “números algebraicos” antes de los reales, y luego tendríamos [math] \ sqrt {3} [/ math], pero no necesitamos este paso para llegar hasta el final los números reales, y a la larga probablemente vamos a querer los reales de todos modos.

*** Hay otras formas de completar los números racionales (estos se llaman p-adics), pero todos están locos .

La gente no matemática a veces me pregunta: “¿Sabes matemáticas, eh? Dime algo que siempre me he preguntado: ¿Qué es el infinito dividido por el infinito?” Solo puedo responder: “Las palabras que acabas de pronunciar no tienen sentido. Esa no fue una oración matemática. Hablaste del infinito como si fuera un número. No lo es. También puedes preguntar:” ¿Qué es la verdad dividida por la belleza? ? No tengo idea. Solo sé cómo dividir números. ‘Infinito’, ‘verdad’, ‘belleza’, esos no son números “.

– Prime Obsession de John Derbyshire.