Se puede decir que la superficie interna del Cuerno de Gabriel se puede ‘pintar’ con una cantidad finita de ‘pintura’, pero que una capa de pintura en el exterior tomaría una cantidad infinita. ¿Cómo se puede resolver esta paradoja?

Answer 1

EDITAR: La redacción de la pregunta ha cambiado desde que escribí la respuesta, por lo que he eliminado un par de párrafos desde el comienzo de esta respuesta.

El núcleo de la confusión se reduce a la naturaleza de la “pintura” utilizada. Uno de los aspectos de la pintura tal como la experimentamos en la vida cotidiana es que se puede ‘verter’ en cualquier recipiente y cubrirá completamente la superficie interior de ese recipiente debajo de la superficie de la pintura. Otro aspecto es que si una capa se aplica a una superficie, tiene un cierto espesor mínimo finito (llámelo [matemática] t [/ matemática]): la pintura no es una ‘superficie’ de espesor cero, y esto no es lo mismo que el grosor ‘infinitesimal’, aunque [math] t [/ math] puede ser cualquier valor positivo, sin importar cuán pequeño sea, siempre que sea independiente del objeto y qué parte del objeto esté cubriendo.

Aplicar estos aspectos cotidianos de la pintura al modelo teórico de la trompeta simplemente no funciona. Por ejemplo, para pintar el interior, creemos que podemos verter pintura en el interior de la trompeta. Pero, si la pintura viaja a velocidades finitas, nunca completará el viaje ‘hacia abajo’, y nunca tendremos el interior completamente pintado. Y, una razón física por la cual el espesor mínimo de una capa de pintura es porque la pintura está hecha de moléculas de tamaño finito, pero si la pintura está hecha de moléculas de tamaño finito, no puede caber completamente en un cuerno que se adelgaza. que cualquier molécula de todos modos.

Entonces, el modelo de esta pintura idealizada es uno que es descriptivo de su forma (no el método por el cual se aplica) y no es físicamente realizable. Ocupa un volumen, extendiéndose desde la superficie que está cubriendo con un espesor mínimo finito [matemático] t [/ matemático] a menos que encuentre otra superficie que le impida extenderse tan lejos.

Ahora, a la paradoja. Tome una sección transversal de la bocina, donde el grosor de la bocina es mucho menor que [math] t [/ math]. La pintura ‘dentro’ se limitará a un disco muy muy pequeño. La pintura ‘afuera’ en su mayoría llenará un disco, solo un poco más de [matemáticas] 2t [/ matemáticas] de ancho. Entonces, hay un tramo infinito donde la pintura ‘interior’ es pequeña y cada vez más pequeña, y para ese mismo tramo, la pintura ‘exterior’ está muy cerca de ser un disco con un radio igual a [matemáticas] t [/ matemáticas]. El volumen puede converger cuando está compuesto por un tramo infinito de área cada vez más estrecha (y en este caso, lo hace), el volumen divergerá cuando esté compuesto por un tramo infinito de área [matemática] \ pi t ^ 2 [/ matemática ] y por encima.

Un enfoque formal completo podría dividir el claxon en la sección donde es más ancho que [math] 2t [/ math], y la sección más allá, pero la esencia de la paradoja está en el párrafo anterior.

Answer 2

La superficie interna tiene la misma área que la superficie externa. Aquí hay un pequeño truco.

Cuando hablamos de cuánta pintura se necesita, asumimos un espesor constante pero muy delgado de pintura en la superficie. Esta idea funciona bien para la superficie exterior. Pero por muy delgada que sea la capa de pintura, aquí habrá algún punto a lo largo de Gabriels Horn donde el ancho de la bocina es menos del doble del grosor de la pintura. Por lo tanto, no puede aplicar una capa de pintura tan gruesa: está llenando la bocina con pintura, no aplicando una capa de pintura. Para superar esta dificultad técnica, algunos autores hablan de pintar el exterior.

En resumen: el Cuerno de Gabriel tiene un volumen finito pero un área de superficie infinita. Lo que significa que podría llenar el interior con una cantidad finita de pintura. Esto parece cumplir con la idea de la mayoría de la gente de “pintar el interior”, por lo que es común hablar de “pintar el exterior” para superar este problema.

Answer 3

El cuerno de Gabriel es el sólido de revolución de la curva y = 1 / x.
x> = 1
La superficie es infinita. Pero el volumen incluido es finito (pi)
Integral de pi.y ^ 2

Para cualquier espesor finito de pintura, la cantidad de pintura es proporcional al área de superficie y, por lo tanto, es infinita y eso se aplica a la superficie exterior.

Para la superficie interior podemos imaginar girar la bocina llenándola completamente de pintura (volumen pi) y sacando el exceso.
Entonces hay una cantidad finita de pintura.
¿Por qué?
A un cierto valor de espesor de pintura t hay un punto y = t, y un punto correspondiente x = hh = 1 / t.
En el exterior para x> h el espesor de la pintura continúa en t
En el interior, el grosor de la pintura se cae a la nada.
Por lo tanto, siempre hay menos pintura en el interior.

Todo esto es parte del extraño hecho de que 1 / n se suma muy lentamente al infinito, pero para cualquier z> 1, la suma infinita de 1 / n ^ z es finita.

Answer 4

Puedo estar equivocado, pero creo que el interior del Cuerno de Gabriel también necesitaría una cantidad infinita de pintura.

La esencia de la paradoja es que el Cuerno de Gabriel tiene un volumen finito pero un área de superficie infinita. Tal objeto desafía la concepción normal, pero es posible imaginar algún tipo de resolución:

Entonces el Cuerno de Gabriel es infinitamente largo. Un objeto infinitamente largo requeriría una cantidad infinita de pintura para cubrirlo por completo. Espero que esto sea creíble en sí mismo. A continuación, podemos imaginar vaciar un cubo de pintura en el extremo abierto del Cuerno. Aunque es infinitamente largo, se vuelve inimaginablemente delgado a medida que avanza. Puedes imaginar que en algún momento, la bocina se vuelve tan delgada que la pintura ya no puede fluir hacia ella. Una sola molécula de pintura se acuñaría en la bocina, incapaz de moverse más lejos debido a que la bocina se vuelve cada vez más delgada. Sin embargo, todavía quedaría una cantidad infinita de superficie sin tocar.

Espero que esto resuelva la paradoja para ti. Tal objeto realmente desafía la realidad y, por lo tanto, no hay una manera fácil de salir de él.

Answer 5

Para pintar la superficie externa de una bocina de Gabriel, pinte la superficie interna y luego haga una inversión que invierta el origen y el punto en el infinito mientras preserva la superficie.