¿Puede el producto cruzado vectorial convertirse realmente en multiplicación de matrices mediante el uso de una matriz simétrica sesgada?

Answer 1

Un mapa lineal de un vector siempre se puede escribir como una multiplicación por una matriz. Para el producto cruzado [math] a \ times x [/ math] tratado como una función de [math] x [/ math] (arreglamos [math] a [/ math]), es un mapa lineal, por lo que podemos siempre encuentre una matriz [math] [a_ \ times] [/ math] tal que [math] a \ times x = [a_ \ times] x [/ math]. Aquí hay algo “asimétrico”. Estamos tratando [math] a \ times x [/ math] como un mapa lineal en [math] x [/ math], no en [math] a [/ math].

Tratando el producto cruzado como un mapa lineal en el segundo argumento, tenemos

[matemáticas] a \ times (b \ times c) = [a_ \ times] ([b_ \ times] c) = ([a_ \ times] [b_ \ times]) c [/ math]

lo que parece sugerir que el producto cruzado es asociativo. Sin embargo, esta no es realmente la expresión que estamos buscando. Queremos probar [matemáticas] a \ times (b \ times c) = (a \ times b) \ times c [/ math], pero

[matemáticas] (a \ veces b) \ veces c = [(a \ veces b) _ \ veces] c [/ matemáticas]

No hay ninguna razón para creer [matemáticas] [a_ \ veces] [b_ \ veces] = [(a \ veces b) _ \ veces] [/ matemáticas] (y de hecho es falso).

Tenga en cuenta que la forma de matriz solo le da [math] a \ times x = [a_ \ times] x [/ math], pero no dice nada sobre la composición de dos productos cruzados [math] [a_ \ times] [b_ \ times] [/matemáticas]. En general, la composición de dos productos cruzados no puede expresarse por un solo producto cruzado.

Answer 2

No hay ninguna discrepancia aquí.

Escribe que [math] \ mathbf {a} \ times \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right) [/ math] no es necesariamente igual a [math] [a_ \ times] [a_ \ veces] \ mathbf {b} [/ math]. Pero por supuesto que sí, así es como definiste [matemáticas] [a_ \ veces] [/ matemáticas]. Está confundiendo el producto cruzado (que no es asociativo) con la forma matricial del operador del producto cruzado (que es asociativo).

El hecho de que los productos cruzados no sean asociativos significa que
[math] \ mathbf {a} \ times \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right) [/ math] no es necesariamente igual a [math] \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a} \ right) \ times \ mathbf {b} [/ math]. Pero el lado derecho de esto no es [math] [a_ \ times] [a_ \ times] \ mathbf {b} [/ math], es [math] \ left ([a_ \ times] \ mathbf {a} \ right ) \ times \ mathbf {b} [/ math], que es algo completamente diferente. (De hecho, es cero).