¿Cómo se prueba la identidad senoidal de doble ángulo, [matemática] \ sin (2 \ alpha) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha [/ matemática]?

La identidad se puede demostrar calculando el área de un triángulo isósceles de dos maneras diferentes, aprovechando sus propiedades y las relaciones entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo.

Consideremos un triángulo isósceles ABC. El ángulo del vértice es [matemática] 2 \ alfa [/ matemática], la longitud de la pierna es a y la longitud de la base es b.

Primer método para calcular el área.

Bisequemos el ángulo del vértice. Según las propiedades del triángulo isósceles, el segmento BD es perpendicular a su base y es la altitud del triángulo isósceles. La altitud divide el triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes, ABD y BCD. La longitud de altitud es c.

El área del triángulo isósceles es dos veces el área de uno de los triángulos rectángulos. Usando la relación entre ángulos y lados del triángulo rectángulo podemos escribir

[matemática] Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] ABD = \ dfrac {\ dfrac {b} {2} c} {2} = \ dfrac {a ^ 2 sin \ alpha cos \ alpha } {2} [/ matemáticas]

[matemática] Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] ABC = 2 [/ matemática] x [matemática] Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] ABD = a ^ 2 sen \ alpha cos \ alpha [/ math]

Segundo método para calcular el área.

Ahora dibujemos el segmento EC perpendicular a la pierna AB. El triángulo ABC se divide en dos triángulos rectángulos, BCE y AEC.

El área de ABC se obtiene sumando las áreas de BCE y AEC. Usamos nuevamente la relación entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos para calcular la longitud de sus patas.

[matemáticas] Área [/ matemáticas] [matemáticas] de [/ matemáticas] [matemáticas] BCE = \ dfrac {a ^ 2 sen 2 \ alpha cos 2 \ alpha} {2} [/ matemáticas]

[matemática] Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] AEC = \ dfrac {a ^ 2 (1-cos 2 \ alpha) sin 2 \ alpha} {2} [/ matemática]

Si sumamos las áreas de BCE y AEC, obtenemos

[matemática] Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] ABC = Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemática] [matemática] BCE + Área [/ matemática] [matemática] de [/ matemáticas] [matemáticas] AEC = \ dfrac {a ^ 2 sen 2 \ alpha} {2} [/ matemáticas]

Como el área de ABC calculada de dos maneras diferentes debe ser la misma, podemos escribir

[matemáticas] a ^ 2 sin \ alpha cos \ alpha = \ dfrac {a ^ 2 sin 2 \ alpha} {2} [/ matemáticas]

Esto puede reescribirse como

[matemáticas] 2 sin \ alpha cos \ alpha = sin 2 \ alpha [/ matemáticas]

demostrando así la identidad.

1. sin (2α) = 2sin α cos α

2. sin (α + α) = 2sin α cos α

Ahora utilizaremos la fórmula La suma de dos ángulos para la función seno: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, donde, para este problema, β = α; por lo tanto, sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuación 2, tenemos:

3. sen α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α

En el lado izquierdo de la ecuación 3, observando el segundo término (cos α sin α), ya que la multiplicación es conmutativa, es decir, ab = ba, entonces tenemos:

4. sen α cos α + sin α cos α = 2sin α cos α

Ahora, al recopilar términos similares en el lado izquierdo de la ecuación 4, finalmente obtenemos:

5. 2sin α cos α = 2sin α cos α

Por lo tanto, ahora tenemos el resultado deseado en el lado izquierdo, que es idéntico al que tenemos en el lado derecho, y esta igualdad reflexiva (a = a) verifica (prueba) la identidad senoidal de doble ángulo dada.

Tenemos por la fórmula de Euler :

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {i (2 \ theta)} = \ cos 2 \ theta + i \ sin 2 \ theta [/ matemáticas]

Que también es igual a

[matemáticas] (e ^ {i \ theta}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = ([/ matemáticas] [matemáticas] \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos ^ 2 \ theta – \ sin ^ 2 \ theta) + i (2 \ sin \ theta \ cos \ theta) [/ matemáticas]

Utilizando [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ cos 2 \ theta + i \ sin 2 \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos ^ 2 \ theta – \ sin ^ 2 \ theta) + i (2 \ sin \ theta \ cos \ theta) [/ matemáticas]


Por lo tanto, equiparar partes reales e imaginarias.

[matemáticas] \ cos {2 \ theta} = \ cos ^ 2 \ theta- \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

Y [matemáticas] \ sin {2 \ theta} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ math]

Usando la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ ix = \ cosx + i \ sinx [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ -ix = cosx-i \ sinx [/ matemáticas]
Obtenemos [math] \ [/ math] [math] sinx = (e ^ ix-e ^ -ix) / 2i [/ math] y
[matemáticas] \ [/ matemáticas] [matemáticas] cosx = (e ^ ix + e ^ -ix) / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ 2sinxcosx = 2 (e ^ 2ix-e ^ -2ix) / 4i [/ matemáticas]
[matemáticas] = (e ^ 2ix-e ^ -2ix) / 2i [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin2x [/ matemáticas]
Puede derivar esta identidad utilizando
sin (x + y) = sinxcosy + cosxsiny
para y = x
sin (x + x) = sinxcosx + cosxsinx
sin (2x) = 2sinxcosx

Use la fórmula [math] sin (a + b) = sinacosb + cosasinb [/ math]

[matemática] sin2a = sin (a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa [/ matemática]

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