¿Cuál es el área encerrada por la parábola y2 = 2x y la línea y = 2x?

Answer 1

Primero resolvemos las 2 ecuaciones para encontrar dónde se cruzan la parábola y la línea

y ^ 2 = 2x = y

Al resolver obtenemos y = 0, x = 0 e y = 1, x = 1/2

La imagen es así

La región sombreada es ahora el área requerida

Entonces, usando el cálculo integral de áreas

Integrar √ (2x) – 2x poniendo límites de 0 a 0.5

La integración de √ax es √a (x ^ 1.5) /1.5

La integración de ax es ax ^ 2/2

Al sustituir los límites obtenemos la respuesta como 1 / 3–1 / 4 = 1/12

Respuesta: 1/12

Nota: Sé que la respuesta no está muy clara porque me resulta difícil escribir cálculos matemáticos, pero espero que capte el punto central de la solución y lo resuelva

Esta respuesta se basa en la integración, por lo que necesita saber la integración

Answer 2

Tracemos estos dos gráficos para ver qué área queremos.

Necesitamos el área entre la línea y la parábola. Podemos ver que se encuentran en los puntos (0,0) y (0.5, 1). Pero si no puede trazar un gráfico tan preciso, hagámoslo numéricamente.

Como [math] y = 2x [/ math] y [math] y ^ {2} = 2x [/ math] obtenemos [math] y = y ^ {2} [/ math] y, por lo tanto, y = 0 o 1. Al poner estos valores en [matemáticas] y = 2x [/ matemáticas], obtenemos x = 0, 0.5.

Ahora usaremos el método de integración para encontrar el área entre las curvas. Entonces eso sería integral desde el límite inferior de x hasta el límite superior de x, de la curva superior, la curva inferior.

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {0.5} (\ sqrt {2x} -2x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {2} \ int_ {0} ^ {0.5} \ sqrt {x} dx-2 \ int_ {0} ^ {0.5} xdx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {2} * \ frac {2} {3} * \ left [x ^ {1.5} \ right] _ {0} ^ {0.5} – \ left [x ^ {2} \ right] _ {0} ^ {0.5} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {2} * \ frac {2} {3} * \ frac {1} {2 \ sqrt {2}} – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} = \ frac {1} {12} [/ matemáticas]