Cómo encontrar el sólido resultante girando alrededor de una curva usando la integración

Answer 1

Grafica la región:

Método de carcasa cilíndrica:

[matemática] V = 2 \ pi \ displaystyle \ int_a ^ b (rh) \, dx [/ matemática], donde a = 0, b = 1, r = 8 − x, h = 2y = 2 [matemática] \ sqrt [4] {1 − x} [/ matemáticas]

[matemática] = 2 \ pi \ displaystyle \ int_0 ^ 1 2 (8-x) \ sqrt [4] {1 − x} \, [/ math] dx

[matemáticas] = \ dfrac {16} {45} \ pi (1-x) ^ \ frac {5} {4} (5x-68) [/ matemáticas] | [matemáticas] _ 0 ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {16} {45} \ pi (0 – (- 68)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1088} {45} \ pi [/ matemáticas]

.

Método de lavado:

[matemáticas] V = \ pi \ displaystyle \ int_a ^ b (R ^ 2-r ^ 2) \, dy [/ matemáticas], donde a = -1, b = 1, R = 8, r = [matemáticas] 8 – (1-y ^ 4) [/ matemática] = [matemática] 7 + y ^ 4 [/ matemática]

[math] = \ pi \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 (8 ^ 2- (7 + y ^ 4) ^ 2) \, dy [/ math]

[math] = \ pi \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 (15-14y ^ 4-y ^ 8) \, dy [/ math]

[matemáticas] = \ pi [/ matemáticas] [matemáticas] (15y- \ frac {14} {5} y ^ 5- \ frac {1} {9} y ^ 9) | _ {- 1} ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ pi [/ matemáticas] [matemáticas] (15- \ frac {14} {5} – \ frac {1} {9}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1088} {45} \ pi [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ pi \ int_ {0} ^ {1} (8-y) (1-y ^ 4) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ pi \ int_ {0} ^ {1} 8–8y ^ 4-y + y ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ pi \ bigg [8y- \ dfrac {8} {5} y ^ 5- \ dfrac {y ^ 2} {2} + \ dfrac {y ^ 6} {6} \ bigg] _ {0} ^ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ pi \ bigg (8- \ dfrac {8} {5} – \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {6} \ bigg) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {192 \ pi} {15} [/ matemáticas]