¿Cuál es la expansión de sin (3x) y cos (3x)?

Answer 1

Hay varios métodos para mostrar esto. Uno de los métodos básicos es utilizar algunas de las fórmulas más simples de trigonometría. Entonces comencemos.

Debes conocer la fórmula

[matemáticas] \ sin (A + B) = \ sin A \ cos B + \ cos A \ sin B [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (A + B) = \ cos A \ cos B- \ sin A \ sin B [/ matemáticas]

Ahora primero encuentre [math] \ sin 2x [/ math] usando la fórmula anterior.

Reemplace A y B con [matemáticas] x [/ matemáticas] en la 1ª fórmula

Obtenemos [math] \ sin (x + x) = \ sin x \ cos x + \ cos x \ sin x. [/ Math]

Por lo tanto, [math] \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x \ ldots (1) [/ math]

similar

[matemáticas] \ cos 2x = \ cos ^ 2x- \ sin ^ 2x [/ matemáticas]

Usando [math] \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x = 1 \ ldots (2) [/ math]

[matemáticas] \ cos 2x = 2 \ cos ^ 2x-1 [/ matemáticas]

Nuevamente usando eqn [math] (2) [/ math]

[matemáticas] \ cos 2x = 1-2 \ sin ^ 2x \ ldots (3) [/ matemáticas]

Ahora para [matemática] \ sen 3x [/ matemática] reemplace A y B con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] 2x [/ matemática] o viceversa en la primera fórmula.

Obtenemos [matemática] \ sin (x + 2x) = \ sin x \ cos 2x + \ cos x \ sin 2x [/ matemática]

Subtitulando los valores de [math] \ sin 2x [/ math] y [math] \ cos 2x [/ math] obtenemos

[matemáticas] \ sin 3x = (\ sin x) (1-2 \ sin ^ 2x) + (\ cos x) (2 \ sin x \ cos x) [/ matemáticas]

Usando eqn [math] (2) [/ math] y reorganizando los términos obtenemos

[matemáticas] \ en caja {\ sin 3x = 3 \ sin x-4 \ sin ^ 3x} [/ matemáticas]

similar

[matemáticas] \ en caja {\ cos 3x = 4 \ cos ^ 3x-3 \ cos x} [/ matemáticas]

Hay un segundo método interesante e implica un número complejo. Para eso debes conocer el teorema de De Moivre, que puede expresarse como

[matemáticas] (\ cos θ + i \ sin θ) ^ n = (\ cos nθ + i \ sin nθ) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] (\ cos θ + i \ sin θ) ^ 3 = \ cos ^ 3θ-i \ sin ^ 3θ + 3i \ cos ^ 2θ \ sin θ-3 \ sin ^ 2θ \ cos θ [/ matemáticas]

Ahora usando eqn [math] (2) [/ math] obtenemos

[matemáticas] (\ cos 3θ + i \ sin 3θ) = (4 \ cos ^ 3θ-3 \ cos θ) + i (3 \ sin θ-4 \ sin ^ 3θ) [/ matemáticas]

Cuando dos números complejos son iguales, su parte real e imaginaria también es igual

De ahí obtenemos

[matemáticas] \ en caja {\ cos 3θ = 4 \ cos ^ 3θ-3 \ cos θ} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ sin 3θ = 3 \ sin θ-4 \ sin ^ 3θ} [/ math]

Espero que ayude

Answer 2

deberá usar la identidad de suma sin (A + B), cos (A + B), fórmulas de doble ángulo y la relación de identidad entre sinx y cosx

También podría usar el teorema de De Moivre y la expansión binomial para obtener el mismo resultado.

Answer 3

Paso a paso, usando identidades trigonométricas que debes saber:
1) sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)
2) sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)
3) cos (2x) = cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x)
4) sen ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1

Aquí vamos:
sin (3x) = sin (x + 2x) = sin (x) cos (2x) + cos (x) sin (2x)
= sin (x) * (1 – 2 sin ^ 2 (x)) + cos (x) * 2 sin (x) cos (x)
= sin (x) * (1 – 2 sin ^ 2 (x)) + 2 sin (x) (1 – sin ^ 2 (x))
= sin (x) * (1 – 2 sin ^ 2 (x) + 2 – 2 sin ^ 2 (x))
= 3 sin (x) – 4 sin ^ 3 (x)

Aplicar las identidades trigonométricas:
cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

cos2x = 2cos2x − 1

sen 2x = 2sin x.cos x
Obtenemos:
cos 3x = cos (x + 2x) = cos x.cos 2x – sin x.sin 2x =

= cosx (2cos2x − 1) −2sin2x.cosx =

= 2cos3x − cosx − 2cosx (1 − cos2x) =

= 2cos3x − cosx − 2cosx + 2cos3x =

cos3x = 4cos3x − 3cosx

Answer 4

Sin3x

Por favor revise el enlace de arriba

Answer 5

sin (3x) = 3 * sin x- 4 * (sin x ^ 3)

cos (3x) = 4 * (cos x ^ 3) -3 * cos x

Answer 6

sin3x = 3sinx-4sin ^ 3x …………………. (1)

cos3x = 4cos ^ 3x-3cosx …………………. (2)

Responder.

Answer 7

sin3x = 3sinx – 4 (sinx) ^ 3

cos3x = 4 (cosx) ^ 3 – 3cosx