¿Cuántas soluciones enteras positivas (x, y) hay para la ecuación 13x + 8y = 523?

Answer 1

Escribí un programa de Python para encontrar las soluciones a cualquier ecuación de la forma ax + by = c

print “para la ecuación de la forma ‘ax + by = c’,”
a = int (raw_input (“Ingrese a:”)) #a = 13
b = int (raw_input (“Enter b:”)) #b = 8
c = int (raw_input (“Ingrese c:”)) #c = 523

print “La ecuación:% sx +% sy =% s”% (a, b, c)

soluciones = []
para y en el rango (0, c / b + 1):
x = (c – b * y) / flotante (a)
if (x.is_integer ()):
soluciones.append ((int (x), y))

soluciones de impresión

Salidas para varias entradas:

Para esta pregunta, la solución está en el primer resultado que se muestra

[(39, 2), (31, 15), (23, 28), (15, 41), (7, 54)]

Entonces, eso son 5 soluciones. Pero es importante tener en cuenta:

El número de soluciones depende del rango de y (o x)

Solo he considerado soluciones no negativas de (x, y).

Si cambio el range(0,c/b + 1) a range(-c/b , c/b + 1) , la salida para la ecuación con a = 13, b = 8 y c = 523 en el mismo programa es :

[(79, -63), (71, -50), (63, -37), (55, -24), (47, -11),
(39, 2), (31, 15), (23, 28), (15, 41), (7, 54)]

A medida que aumenta el rango, también aumenta el número de soluciones plausibles.

digamos el range(-100,100) , tenemos estas soluciones

[(95, -89), (87, -76), (79, -63), (71, -50), (63, -37),
(55, -24), (47, -11), (39, 2), (31, 15), (23, 28),
(15, 41), (7, 54), (-1, 67), (-9, 80), (-17, 93)]

Al igual que.

ALGORITMO

• Recorre todos los valores enteros de y en cualquier rango.
• Sustituya ese valor en la ecuación para obtener una solución para x.
• Si x es un número entero, agregue el par a la lista de soluciones.

Creo que es bastante simple. Simplemente modifique el rango para otros resultados. Como está generalizado adoptar cualquier ecuación de la forma [math] ax + by = c [/ math], siéntase libre de jugar con ella. 😉

Answer 2

[matemáticas] 13 x + 8y = 523 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] 8 [/ matemáticas] son ​​coprimes.

Considere [matemáticas] 13 * 8 = 104 [/ matemáticas] como un paquete de números. Este paquete puede ser arrojado a la canasta x o la canasta y. No se puede compartir. Cuando va a la cesta x, el valor x aumenta en [matemáticas] 8 [/ matemáticas] mientras que si va a la cesta y, el valor y aumenta en [matemáticas] 13 [/ matemáticas]. Puede tener [math] 5 [/ math] tales paquetes por un valor de [math] 520 [/ math] dejando un resto de [math] 3 [/ math]. Sin embargo, este resto no puede ir a ninguna canasta. Tengo que desagregar un paquete para agregarlo a [math] 3 [/ math] para que sea [math] 107 [/ math]. Esta [matemática] 107 [/ matemática] puede ser compartida por [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] como [matemática] x = 7 [/ matemática] y [matemática] y = 2 [/ matemáticas]. Ahora quedan [math] 4 [/ math] paquetes restantes. podemos dar [matemática] 0,1,2,3 [/ matemática] o [matemática] 4 [/ matemática] paquetes a la cesta [matemática] x [/ matemática] y los paquetes restantes [matemática] 4,3,2 [ / math] o [math] 0 [/ math] a [math] y [/ math]. que conduce a [matemáticas] 5 [/ matemáticas] par ordenado distinto. en consecuencia las soluciones son

[matemáticas] (7 + 0,2 + 4 * 13), (7 + 8,2 + 3 * 13), (7 + 2 * 8,2 + 2 * 13), (7 + 3 * 8,2 + 1 * 13), (7 + 4 * 8,2 + 0 * 13) [/ matemáticas]

es decir

[matemáticas] (7,54), (15,41), (23,28), (31,15), (39,2) [/ matemáticas]

Nota: No es necesario mostrar cómo se distribuye [math] 107 [/ math], tampoco cuáles son los pares ordenados si solo se requiere un número de soluciones enteras positivas.

Answer 3

Busqué en Google un poco para obtener algunos conceptos nuevos. Aquí hay un enlace relevante: ¿Cómo encontrar soluciones lineales de diofantina ax + by = c? O bien, puede leer lo siguiente, para una comprensión básica, relacionada con este problema:

En primer lugar,

• En una ecuación [matemática] ax + por [/ matemática] = [matemática] c [/ matemática], si [matemática] c [/ matemática] no es divisible por [matemática] HCF (a, b) [/ matemática] , no habrá soluciones integrales para el problema.

Como está claro, [matemática] HCF (13,8) [/ matemática] = [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 523 [/ matemática] es divisible por [matemática] 1 [/ matemática], por lo que las soluciones integrales existe

Otra cosa,

• [math] HCF (a, b) [/ math] siempre se puede expresar como una combinación lineal de [math] a [/ math] y [math] b [/ math]

En nuestro caso, este paso no lleva mucho tiempo. Podemos encontrar fácilmente la combinación como:

[matemáticas] 1 [/ matemáticas] = [matemáticas] 13 \ veces (-3) [/ matemáticas] + [matemáticas] 8 \ veces (5) [/ matemáticas]

Ahora, multiplicando [math] 523 [/ math] en ambos lados podemos obtener una solución

[matemáticas] 523 [/ matemáticas] = [matemáticas] 13 \ veces (-1569) [/ matemáticas] + [matemáticas] 8 \ veces (2615) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] (- 1569, 2615) [/ matemáticas] es una solución. Una vez, obtenemos un valor, entonces podemos obtener el conjunto completo de posibles valores integrales. Tome [matemática] -1569 [/ matemática] y [matemática] 2615 [/ matemática] como primeros términos, luego la solución será [matemática] 2 [/ matemática] Progresiones aritméticas que tienen diferencias comunes [matemática] \ pm8 [/ matemática] y [matemáticas] \ mp13 [/ matemáticas] respectivamente.

Para encontrar las soluciones positivas, puede usar restricciones en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]:

[matemática] 523 – 13x> 0 [/ matemática] o [matemática] x \ leq 40 [/ matemática]

[matemática] 523 – 8y> 0 [/ matemática] o [matemática] y \ leq 65 [/ matemática]

Te dejo el trabajo restante. Espero que el método sea claro.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle 13x + 8y = 523 [/ matemáticas]
Dividir entre 8, el coeficiente más pequeño. Así,
[matemáticas] \ displaystyle x + y + \ frac {5x} {8} = 65 + \ frac {3} {8} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto x + y + \ frac {5x-3} {8} = 65 [/ matemáticas]… .. (1)

Como x e y son enteros, [math] \ displaystyle \ frac {5x-3} {8} = \ text {integer} [/ math].
[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ frac {25x-15} {8} = \ text {integer} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow 3x-1 + \ frac {x-7} {8} = \ text {integer} [/ math]
y por lo tanto [math] \ displaystyle \ frac {x-7} {8} = \ text {integer} = p [/ math] supongamos.
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {x = 8p + 7} [/ matemáticas]… (2)

Sustituya este valor de [matemática] x [/ matemática] en (1) para obtener [matemática] \ displaystyle \ boxed {y = 54-13p} [/ matemática]… (3)

Si en estos resultados, le damos a [math] p [/ math] cualquier valor integral, obtenemos valores integrales correspondientes de [math] x [/ math] y [math] y [/ math]; pero si [math] p> 4 [/ math], vemos en (3) que [math] y [/ math] es negativo; y si [math] p [/ math] es un entero negativo, [math] x [/ math] es negativo. Por lo tanto, los únicos valores integrales positivos de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] se obtienen poniendo [matemáticas] p = 0,1 [/ matemáticas] [matemáticas], 2,3,4 [ /matemáticas].

Para [matemáticas] p = 0, x = 7, y = 34 [/ matemáticas]
y para [matemáticas] p = 1, x = 15, y = 41 [/ matemáticas]
y para [matemáticas] p = 2, x = 23, y = 28 [/ matemáticas]
y para [matemáticas] p = 3, x = 31, y = 15 [/ matemáticas]
y para [matemáticas] p = 4, x = 39, y = 2 [/ matemáticas].

Answer 5

Suponga que [matemáticas] \; \; 13x + 8y = 523 \; \; [/ matemáticas] ………………. (1)

tiene solución entera, (por ejemplo) [matemáticas] \; \; x = a \ ;, \; y = b \ ;. \; \; [/ math] …………… .. (2)

Por lo tanto [matemáticas] \; \; 13a + 8b = 523 \; \; [/ matemáticas] ……………… .. (2)

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] \; \; 13 (xa) +8 (yb) = 0 \; \; [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \; \; \ frac {xa} {8} \; = \; \ frac {by} {13} \; = \; \ lambda \; [/ math] (say)

Por lo tanto, [matemáticas] \; \; x \; = \; a \; + \; 8 \ lambda \; \; [/ matemáticas] y [matemáticas] \; \; y = b \; – \; 13 \ lambda \; \; where \; \; \ lambda \; \; [/ math] es cualquier número entero, es la solución general.

Como [math] \; \; 8y \; \; [/ math] es par y 523 es impar, obtenemos [math] \; \; 13x \; \; [/ math] debe ser impar. Debe terminar con 1, 3, 5, 7 o 9.

Comprobando [math] \; \; 523 \; – \; 13x \; \; [/ math] para [math] \; \; x = 1 \;, \; 11 \;, \; 21 \;, \ ; 31 \;, \; 41 \; \; [/ math] etc. para la divisibilidad entre [math] \; \; 8 \;, \; \; [/ math] podemos ver fácilmente que [math] \; \; x \; = \; 31 \; \; [/ math] funciona.

Por lo tanto, [math] \; \; x \; = \; 31 \;, \; \; y \; = \; 15 \; \; [/ math] es una solución particular.

Por lo tanto, la solución general es [matemáticas] \; \; x \; = \; 31 \; + \; 8 \ lambda \; \; \; [/ matemáticas] y [matemáticas] \; \; y \; = \ ; 15 \; – \; 13 \ lambda \; \; [/ math] donde [math] \; \; \ lambda \; \; [/ math] es cualquier número entero.

Podemos ver fácilmente que las soluciones enteras positivas corresponden a la elección: [matemáticas] \; \; \; \ lambda \; = \; 0 \;, \; 1 \;, \; – 1 \ ;, \; – 2 \ ;, \; – 3 \; \; [/ math]

Así, las soluciones son [matemáticas] \; \; (x, y) = (31, 15), (39,2), (23,28), (15,41), (7,54) \ ;. [/matemáticas]

Answer 6

Primero, necesitamos una solución particular x。, y。

Desde 8y = 523–13x> 0 →

x <523/13 = 40 +

& 8 | 523–13x → x。 = 7, y。 = 54

Solución INTEGRAL POSITIVA general: parámetro t∈N

x = 7–8t> 0 → t <7/8

y = 54 + 13t> 0 → t> -4+

-4≤t≤0

∴t = {- 4, -3, -2, -1,0,}

∴HAY EXACTAMENTE 【5】 soluciones integrales positivas.

Answer 7

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Uso extendido} & \ text {Algoritmo euclidiano} \\ 13 & = 8 \ times1 + 5 \\ 8 & = 5 \ times1 + 3 \\ 5 & = 3 \ times1 + 2 \\ 3 & = 2 \ times1 + 1 \\ 3-2 \ times1 & = 1 \ qquad [\ porque \ text {gcd} (13,8) = 1] \\ 3- (5-3) & = 1 \\ 2 ( 3) -5 & = 1 \\ 2 (8-5) -5 & = 1 \\ 2 (8) -3 (5) & = 1 \\ 2 (8) -3 (13-8) & = 1 \\ 13 (-3) +8 (5) & = 1 \\ 13 (-1569) +8 (2615) & = 523 \ implica (x_0, y_0) = (- 1569,2615) \\\ hline \ text {General { } & \ text {Solución:} \\ x & = – 1569 + 8k \\ y & = 2615-13k \\\ text {where} & k \ in \ mathbb Z \\\ hline \ text {Requerimos} & x, y> 0 \ text {so} \\ – 1569 + 8k> 0 & \ qquad 2615-13k> 0 \\ 8k> 1569 & \ qquad13k <2615 \\ k> 196.25 & \ qquad k <201.15 \\ & \ text {Since} k \ in \ mathbb {Z} \\ k \ ge197 \ land & k \ le201 \\ 197 \ le k & \ le 201 \\\ text {Podemos contar} & \ text {el número de soluciones ahora} \\ 201-197 + 1 & = \ boxed {5} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 8

Encuentre la primera solución, donde primero significa el valor más pequeño de x. x = 7, y = 54 parece ser eso. Ahora, las x aumentarán en 8 mientras que las y disminuirán en 13. Así que disminuyamos las y en 13 hasta que deba ir por debajo de 0. Aquí tenemos 54, 41, 28, 15, 2. Hay 5 soluciones.