Generalización:
Estamos tratando con la ecuación [math] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} {x_i} = m [/ math], donde [math] m \ in \ mathbb {N} [/ math] y [ math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] reciben constantes. Queremos saber el número de posibles soluciones ordenadas para [math] \ {x_i \} | _ {i = 1} ^ {n} [/ math] bajo las siguientes restricciones: [math] i \ neq j \ Rightarrow x_i \ neq x_j [/ math] y cada [math] x_i \ in \ mathbb {N} [/ math].
Nuestra pregunta específica tiene [matemáticas] m = 20 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas].
Responder:
En general, la respuesta a nuestra pregunta es [math] \ boxed {n! F_n (m, 1)} [/ math], donde [math] f_n (m, k) = \ begin {cases} 1 & \ text { ,} n = 1, m \ geq k \\ 0 & \ text {,} n = 1 \\ \ sum \ limits_ {i = k} ^ {\ lfloor \ frac {m} {n} – \ frac {n -1} {2} \ rfloor} {f_ {n-1} (mi, i + 1)} & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math].
La respuesta a nuestra pregunta específica es [matemáticas] 4! F_4 (20,1) [/ matemáticas].
[matemáticas] f_4 (20,1) = f_3 (19,2) + f_3 (18,3) + f_3 (17,4) [/ matemáticas]
[matemáticas] = [f_2 (17,3) + f_2 (16,4) + f_2 (15,5) + f_2 (14,6)] + [f_2 (15,4) + f_2 (14,5) + f_2 (13,6)] + f_2 (13,5) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ {[f_1 (14,4) + f_1 (13,5) + f_1 (12,6) + f_1 (11,7) + f_1 (10,8) + f_1 (9,9)] + [f_1 (12,5) + f_1 (11,6) + f_1 (10,7) + f_1 (9,8)] + [f_1 (10,6) + f_1 (9,7) + f_1 (8,8 )] + f_1 (8,7) \} + \ {[f_1 (11,5) + f_1 (10,6) + f_1 (9,7) + f_1 (8,8)] + [f_1 (9,6 ) + f_1 (8,7)] + f_1 (7,7) \} + [f_1 (8,6) + f_1 (7,7)]. [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] 4! F_4 (20,1) = 24 (23) = \ boxed {552} [/ matemáticas].
Razonamiento:
Defina [math] f_n (m, k) [/ math] para que sea el número de formas en que [math] n [/ math] enteros desordenados (cada [math] \ geq k [/ math]) se pueden elegir para sumar [matemáticas] m [/ matemáticas]. Entonces, obviamente, la pregunta es [math] n! F_n (m, 1) [/ math], ya que todas las variables deben ser [math] \ geq 1 [/ math] y hay [math] n! [/ Math] formas de asignar estas opciones entre las [math] n [/ math] variables ordenadas [math] \ {x_i \} | _ {i = 1} ^ {n} [/ math].
Si [math] n = 1 [/ math], entonces la única forma de satisfacer nuestros criterios es si [math] m \ geq k [/ math] y la única variable es exactamente [math] m [/ math]. Si [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas], entonces podemos dividir nuestro problema en problemas más pequeños. Específicamente, podemos contar el número de formas al permitir que el siguiente entero más bajo elegido [matemática] i [/ matemática] varíe desde [matemática] k [/ matemática] hasta algún límite superior. El número de formas para una opción dada de [matemáticas] i [/ matemáticas] será [matemáticas] f_ {n-1} (mi, i + 1) [/ matemáticas], ya que la suma restante es [matemáticas] mi [ / math], quedan [math] n-1 [/ math] variables y solo los valores [math] \ geq i + 1 [/ math] están permitidos para las variables restantes.
Podemos elegir el límite superior para [math] i [/ math] de manera inteligente. Específicamente, podemos ver que [matemática] f_ {n-1} (mi, i + 1) \ neq 0 [/ matemática] solo para valores de [matemática] i [/ matemática] que satisfacen [matemática] \ suma \ límites_ {j = 1} ^ {n-1} {(j + i)} \ leq mi [/ math]. En otras palabras, si elegimos el entero mínimo permitido para las variables restantes [math] n-1 [/ math], la suma no debe ser mayor que la suma restante que tenemos que completar. Simplificando la desigualdad, obtenemos [matemáticas] i (n-1) + \ frac {n (n-1)} {2} \ leq mi [/ matemáticas], y por lo tanto, los valores distintos de cero solo ocurren si [matemáticas] i \ leq \ frac {m} {n} – \ frac {n-1} {2} [/ math].